福建省三明市2013届高三5月质量检测--数学(理)

福建省三明市 2013届高三5月质量检测

数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答

题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答

案使用0．5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：

样本数据x1,x2，…，xn的标准差 锥体体积公式

112s[(x1x)(x2x)…(xnx)2] VSh

3n其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式

VSh S4R2,V43R 3其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1．命题“x1,x21”的否定是

A．x1,x1 B．x1,x1 C．x01,x01 D．x01,x01

22222．已知复数z(3i1)i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数z等于

A．3i

B．3i

C．3i

D．3i

3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a11，a48，则S5等于

A．16 B．31

C．32 D．63

4．阅读右边程序框图，下列说法正确的是 A．该框图只含有顺序结构、条件结构 B．该框图只含有顺序结构、循环结构 C．该框图只含有条件结构、循环结构

D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构 5．函数f(x)2cos2x2sinxcosx的最小正周期是

6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

A．53

B．23

 B． 2C．2 D．4

A．

C．53 3 D．23 3exex7．已知函数f(x)ln，则f(x)是

2 A．非奇非偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增 B．奇函数，且在R上单调递增

C．非奇非偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减 D．偶函数，且在R上单调递减

8．在ABC中，“ABACBABC”是“|AC||BC|”的

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

x2y22229．过双曲线221(a0，b0)的左焦点F作圆O: xya的两条切线，

ab 切点为A，B，双曲线左顶点为C，若ACB120,则双曲线的渐近线方程为

A．y3x

B． y

3x 3C．y2x D．y2x 210．对于函数f(x)，若f(x0)x0，则称x0为函数f(x)的“不动点”；若f(f(x0))x0，则称x0为

2函数f(x)的“稳定点”．如果函数f(x)xa(aR)的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实

数a的取值范围是

A．(,]

14

B．(3,) 4

C．(31,] 44D．[31,] 44第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．

211．已知随机变量N(0,)，若P(2)0.8，则P(2) ．

12．若抛物线y4x上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为 ．

216

）的展开式中, 常数项是＿＿＿． x211

14．由直线x，x2，曲线y及x轴所围成的图形的面积是＿＿＿．

2x

13．在二项式（x－

15．已知函数f(x)a1sin(x1)a2sin(x2)aksin(xk)，（aiR，

22若f(0)f(i1,2,3,k)．

)0,且函数f(x)的图像关于点(,0)对称，并在x处

22取得最小值，则正实数的值构成的集合是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）

如图，在几何体ABCDE中，BE平面ABC，CD//BE，ABC是等腰直角三角形，ABC900，且BEAB2,CD1，点F是AE的中点．

（Ⅰ）求证：DF//平面ABC；

（Ⅱ）求AB与平面BDF所成角的正弦值． 17．（本小题满分13分）

今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家

禽市场受其影响生意冷清．A市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：

（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买 本地家禽的概率；

（Ⅱ）从该市市民中随机抽取X位，若连续抽取到两位愿意购买本地家禽的市民，或 ．．．．．．．抽取的人数达到4位，则停止抽取，求X的分布列及数学期望． 18．（本小题满分13分）

x2y22已知椭圆:221(ab0)的离心率为，且椭圆的右焦点F与抛物

ab2线y24x的焦点重合． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）如图，设直线m:y2x与椭圆交于A,B两点（其

中点A在第一象限），且直线m与定直线x2交于

点D，过D作直线DC//AF交x轴于点C，试判断直 线AC与椭圆的公共点个数．

yDAOmBlFCx

19．（本小题满分13分）

某企业有两个生产车间，分别位于边长是1km的等边三角形

ABC的顶点A、B处（如图），现要在边AC上的D点建一仓库，

某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回

仓库．已知叉车每天要往返A车间5次，往返B车间20次，设叉车每天往返的总路程为skm．（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）

（Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：

①设AD长为x，将s表示成x的函数关系式； ②设ADB，将s表示成的函数关系式．

B A

D

C

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程 s的最小值，并指出点D的位置．

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)x33ax2(aR)． （Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）当a0时，在曲线yf(x)上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2) (x1x2)，使得曲线

在A,B 两点处的切线均与直线x2交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）若f(x)在区间(2,2)存在最大值f(x0)，试构造一个函数h(x)，使得h(x)同时满足以下

三个条件：①定义域Dx|x2，且x4k2,kN；②当x(2,2)时，

h(x)f(x)；③在D中使h(x)取得最大值f(x0)时的x值，从小到大组成等差数列．（只

要写出函数h(x)即可）

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

2已知矩阵M0（Ⅰ）求矩阵N；

0，绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为N．

42（Ⅱ）若曲线C：xy1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C，求曲线C'的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标

系．已知曲线C的极坐标方程为

2sin4cos，直线l的参数方程为

xtcos,． (t为参数，0）y1tsin

（Ⅰ）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l经过点(1,0)，求直线l被曲线C截得的线段AB的长． （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)14(1x1,且x0)． 22x1x（Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若t1f(x)恒成立，求实数t的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．C 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C 7．A 8． C． 9．A 10．D 二．填空题：

11．0．2； 12．3； 13．15； 14．2ln2； 15．{|2n1,nN*}． 三、解答题：

16．解法一：（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG,FG，

1BE，……………2分 2又BE//CD，∴FG//CD且FGCD， 所以四边形FGCD是平行四边形，

则DF//CG， ………………5分 又因为CG平面ABC，DF平面ABC， 所以DF//平面ABC． …………………6分

则FG//BE，且FG（Ⅱ）依题得，以点B为原点，BA,BC,BE所在的直线分别为

G x,y,z轴，建立如图的空间直角坐标系，

C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，

所以BD(0,2,1)，DF(1,2,0)． 设平面BDF的一个法向量为n(x,y,z)，

z nBD2yz0,x2y则即， nDFx2y0,z2y取y1，得，n(2,1,2)． ………………10分 又设AB与平面BDF所成的角为，BA(2,0,0)，

y x nBA4002， 则sincosn,BA394nBA故AB与平面BDF所成角的正弦值为

2．…………………………………13分 3解法二：（Ⅰ）取BE的中点M，连结MD,MF， 则MD//BC,MF//AB，

又因为BC平面ABC，MD平面ABC， AB平面ABC，MF平面ABC， 所以MD//平面ABC，MF//平面ABC，

M

又MDMFM，所以平面MDF//平面ABC，

DF平面ABC，∴DF//平面ABC．……………6分

（Ⅱ）同解法一． …………………………………13分

17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为

1， 54． 5设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件A，则P(A)1()1故至少有一位市民会购买本地家禽的概率（Ⅱ）X的所有可能取值为：2，3，4．

4536461， 12512561．…………………………6分 125111411414116P(X2)，P(X3)，P(X4)1，

552555512525125125

所以X的分布列为：

X P 2 3 4 1 254 125116 125E(X)21411648634． …………………………13分

2512512512518．解：（Ⅰ）设F(c,0)，易知c1，又

c2222，得a2，于是有bac1． a2yDAOmBlFCxx2y21． ……………4分 故椭圆的标准方程为2（Ⅱ）联立y2x,22x2y2,得x22， 9222222A的坐标为(,)．故FA(1,)．

3333依题意可得点D的坐标为(2,4)．设C的坐标为(m,0)，

故CD(2m,4)．

因为FA//CD，所以(2221)4(2m)0，解得m32， 3322013， …………………………8分 42323于是直线AC的斜率为kAC

从而得直线AC的方程为：y得x221(x32)，代入x22y22， 412(x62x18)2， 8即9x62x20，知72720，

故直线AC与椭圆有且仅有一个公共点． …………………………13分 19．解：（Ⅰ）①在ABC中，AB1，ADx，BAD由余弦定理，BDx12x1223，

1x2x10， 2A

D

所以s10x40x2x1 (0x1)．………………3分 ②在ABC中，AB1，BAD3，ADB，

2． 3AD1BD由正弦定理，， 2sin()sinsin332sin()33cos13得AD， ，BD2sinsin2sin2ABD则s10(B C

3cos1353(4cos)2)40 =5 ()． …………6分

2sin22sinsin3353(4cos)25 ()，

sin33（Ⅱ）选用（Ⅰ）中的②的函数关系式， s=sin2(cos4)cos53(4cos1)， s5322sinsin112) ，记cos1， (14433121)时，cos，s0； 则当(,1)时，cos，s0；当(1,34341所以当cos，时，总路程s最小值为155，

413()154155， 此时sin，AD42101524由s0得，cos答：当AD55km时，总路程s最小,最小值为155km．……………………13分 10

20．解：（Ⅰ）依题可得 f(x)3x23a，

当a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)在R上单调递增； 当a0时，由f(x)3(xa)(xa)0，解得xa或xa，

f(x)单调递增区间为(,a)和(a,)． ……………………………4分

（Ⅱ）设切线与直线x2的公共点为P(2,t)，当a0时，f(x)3x2，

23则f(x1)3x1，因此以点A为切点的切线方程为yx123x12(xx1)． 33因为点P(2,t)在切线上，所以tx123x12(2x1)，即2x16x12t20． 32同理可得方程2x26x2t20． ……………………………6分

设g(x)2x36x2t2，则原问题等价于函数g(x)至少有两个不同的零点． 因为g(x)6x212x6(x2)x，

当x0或x2时，g(x)0，g(x)单调递增，当0x2时，g(x)0，g(x)单调递减． 因此，g(x)在x0处取极大值g(0)t2，在x2处取极小值g(2)t10．

若要满足g(x)至少有两个不同的零点，则需满足t20,解得2t10．

t100,故存在，且交点纵坐标的取值范围为[2,10]． …………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，2a0，即0a4． ………………………………11分 本题答案不唯一，以下几个答案供参考：

①h(x)(x4k)33a(x4k)2,x(4k2,4k2)(kN)，其中0a4；

f(x)h(x)②h(x2)2x2,x2且x4k2,(kN),*其中0a4；

f(x)③h(x)f(a)02x2,xa4k,(kN*),x2且xa4k,(kN*);其中0a4． ………………14分

21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

cos4解：（Ⅰ）由已知得，矩阵Nsin4sin422cos42222． ………………3分 22xyx,11xxy,2（Ⅱ）矩阵MN 11，它所对应的变换为yxy,解得yxy.2把它代人方程xy1整理，得(y)2(x)24 ，

即经过矩阵MN变换后的曲线C方程为y2x24 ． ……………………7分 （注：先计算(MN)1，再求曲线C方程，可相应酌情给分） （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

解法一：（Ⅰ）由sin24cos得，2sin24cos，

即曲线C的直角坐标方程为y24x． ………………………………3分 （Ⅱ）由直线l经过点(1,0)，得直线l的直角坐标方程是xy10，

联立xy102yx6x10，又点(1,0)是抛物线的焦点， ，消去，得2y4x由抛物线定义，得弦长ABxAxB2628． ……………………7分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ………………………………3分

x（Ⅱ）由直线l经过点(1,0)，得tan1，直线l的参数方程为y1将直线l的参数方程代入y4x，得t62t20， 所以ABtAtB222t,2 2t,2(tAtB)4tAtB262288． ……………………7分

14 22x1x（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

解：（Ⅰ）因为1x1，且x0，所以1x20，由柯西不等式f(x)[x2(1x2)](141222)[x1x]9， 222x1xx1x

3x1x2当且仅当，即x时取等号，

123x1x2∴f(x)的最小值为9． ……………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)的最小值为9，由题意可得t19，∴10t8，

则实数t的取值范围为[10,8]． ……………………………7分