卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合𝑀={𝑥|𝑥2−𝑥−6=0}，则下列正确的是( )
A. {−2}∈𝑀 A. 16
A. {𝑥|0<𝑥<1} C. {𝑥|−1<𝑥<0} A. 5 A. {𝑥|𝑥>2} A. [2,+∞) A. 𝑓(𝑥)=𝑥2−1
1
B. 2∈𝑀 B. 31
C. −3∈𝑀 C. 32 B. {𝑥|𝑥<1} D. {𝑥|−1<𝑥⩽0}
D. 3∈𝑀 D. 33
2. 已知集合𝐴={0,1,2}，则集合𝐵={𝑥−𝑦|𝑥∈𝐴,𝑦∈𝐴}的子集有( )个．
3. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥>0}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<1}，则(∁𝑅𝐴)∩𝐵=( )
4. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+1，则𝑓(3)的值是( )
B. 6 B. {𝑥|𝑥≥2} B. [2,6]
1
C. 7
C. {𝑥|𝑥>−2} C. [3,6]
B. 𝑓(𝑥)=𝑥2+1
1
D. 8
D. {𝑥|𝑥≥−2} D. (3,6]
1
5. 已知函数𝑓(𝑥)=√2𝑥−1，则该函数的定义域为( )
6. 函数𝑦=𝑥2−2𝑥+3(𝑥∈(0,3])的值域为( )
7. 已知𝑓(√𝑥)=𝑥+1，则函数𝑓(𝑥)的解析式为( )
C. 𝑓(𝑥)=𝑥2−1(𝑥≥0)
1
D. 𝑓(𝑥)=𝑥2+1(𝑥≥0)
𝑥+,𝑥>2
𝑥−28. 已知函数𝑓(𝑥)={，则𝑓[𝑓(1)]=( ) 2
𝑥+2,𝑥≤2.
A. −2 A. 𝑎≥3
8
1
B. 2 C. 4 D. 11
9. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+6在区间(−∞,3)是减函数，则( )
B. 𝑎>0 C. 𝑎≤3 D. 𝑎<3
10. 函数𝑓(𝑥)=𝑥+1在[1,+∞)上的值域是( )
A. [0,4] A. 6
A. (−3,−2)
B. (0,4] B. 7
B. (−2,−1)
C. [4,+∞) C. 8 C. (−1,0)
D. (4,+∞) D. 9 D. (0,1)
11. 若𝐴⊆{0,1,2,}，则满足条件的非空集合A的个数为( )
12. 方程2𝑥−𝑥−2=0的一个根所在的区间为 ( )
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. “𝑎=0”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2(𝑥∈𝑅)为奇函数”的______条件．
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14. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥>1}，则𝐴∩𝐵=__________．
15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−|𝑥|，若𝑓(−𝑚2−1)<𝑓(2)，则实数m的取值范围是__________． cos4𝑥,𝑥<0
16. 𝑓(𝑥)={，则𝑓(2017)=______．
𝑓(𝑥−2),𝑥≥0三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知集合𝐴={𝑥|1≤𝑥<4}，𝐵={𝑥|𝑥−1≥8−2𝑥}，
求𝐴∩𝐵,𝐴∪𝐵,(𝐶𝑅𝐴)∩(𝐶𝑅𝐵)
𝜋
18. 已知全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥≥1}，𝐵={𝑥|(𝑎+1)𝑥≥4}．
(1)若𝑎=1，求𝐴∪𝐵，(∁ 𝑈𝐴)∩𝐵；(2)若𝐵⊆𝐴，求实数a的取值范围．
𝑥+5,(𝑥≤−1)
19. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2,(−1<𝑥<1),
2𝑥,(𝑥≥1)
①画出𝑓(𝑥)的图象，并指出函数𝑓(𝑥)的定义域和值域； ②若𝑓(𝑎)=2，求a的值．
1
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20. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥
(1)求证：𝑓(𝑥)在(2,+∞)为单调递增；(2)若𝑥∈(2,5)，求𝑓(𝑥)的取值范围．
4
21. 某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本𝑦(万元)与年产量𝑥(
吨)之间的关系可近似地表示成𝑦=并求出该最低成本．
𝑥210
−30𝑥+4000，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？
22. 已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，并满足：
①对于一切实数x，都有𝑓(𝑥)>0； ②对任意的𝑥,𝑦∈𝑅,𝑓(𝑥𝑦)=[𝑓(𝑥)]𝑦； ③𝑓()>1；
31
利用以上信息求解下列问题： (1)求𝑓(0)；
(2)证明𝑓(1)>1且𝑓(𝑥)=[𝑓(1)]𝑥；
(3)若𝑓(3𝑥)−𝑓(9𝑥−3𝑥+1−2𝐾)>0对任意的𝑥∈[0,1]恒成立，求实数K的取值范围．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析： 【分析】
本题考查元素与集合的关系，是基础题．
求出集合M，根据元素与集合间的关系即可判断． 【解答】
解：𝑀={𝑥|𝑥2−𝑥−6=0}={−2,3}， 所以−2∈𝑀,3∈𝑀， 所以D正确， 故选D．
2.答案：C
解析： 【分析】
本题主要考查集合的子集个数的判断，集合中元素的确定，属于基础题． 求出集合B，由含n个元素的子集个数为2𝑛个. 【解答】
解：集合𝐴={0,1,2}，则集合𝐵={𝑥−𝑦|𝑥∈𝐴,𝑦∈𝐴}={0,−1,−2,1,2}， 则集合B的子集个数为25=32(个)． 故选C．
3.答案：D
解析： 【分析】
本题考查集合的补集与交集运算，属于基础题． 根据补集、交集定义求解即可． 【解答】
解：∵𝐴={𝑥|𝑥>0}，∁𝑅𝐴={𝑥|𝑥≤0}， 又∵𝐵={𝑥|−1<𝑥<1}， 故(∁𝑅𝐴)∩𝐵={𝑥|−1<𝑥≤0}．
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故选D．
4.答案：C
解析： 【分析】
本题考查函数求值问题，属于基础题.把3代入函数解析式中计算即可． 【解答】
解：𝑓(3)=32−3+1=7． 故选C．
5.答案：B
解析：解：解：要使函数有意义，则2𝑥−1≥0， 即𝑥≥2，
∴函数的定义域为[2,+∞) 故选：B．
根据函数成立的条件求函数的定义域即可，此题只需根式有意义即可． 本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握函数成立的条件，比较基础．
1
1
6.答案：B
解析： 【分析】
本题考查函数的值域的求解，为基础题． 根据二次函数的性质即可求解． 【解答】
解：𝑦=(𝑥−1)2+2，
当𝑥=1时，y取最小值2；𝑥=3时，y取最大值为6． 即函数的值域为[2,6]． 故选B．
7.答案：D
解析： 【分析】
本题考查了换元法求函数的解析式，属基础题．
通过换元：令√𝑥=𝑡，将已知条件中的x都换为t，得到关于t的函数解析式，再将t换为x即可．
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【解答】
解：令𝑡=√𝑥(𝑡≥0)，则𝑥=𝑡2， 代入原式得𝑓(𝑡)=𝑡2+1，(𝑡≥0) 所以𝑓(𝑥)=𝑥2+1(𝑥≥0)． 故选D．
8.答案：C
解析：解：∵函数𝑓(𝑥)={∴𝑓(1)=12+2=3， 𝑓[𝑓(1)]=𝑓(3)=3+故选：C．
推导出𝑓(1)=12+2=3，从而𝑓[𝑓(1)]=𝑓(3)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13−2
𝑥+𝑥−2,𝑥>2𝑥+2,𝑥≤2.
2
1
，
=4．
9.答案：A
解析： 【分析】
本题考查二次函数的性质，属于基础题．
求出函数的对称轴，然后求𝑓(𝑥)在区间(−∞,3)是减函数，求出a的取值范围． 【解答】
解：函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+6的开口向上，对称轴为𝑥=𝑎， 函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+6在区间(−∞,3)是减函数， ∴𝑎⩾3． 故选A．
10.答案：B
解析：本题考查了函数的值域，由𝑓(𝑥)=𝑥+1可知函数在区间[1,+∞)上为减函数，故当𝑥=1时，函数𝑓(𝑥)可以取得最大值4，所以值域为(0,4]，故选B．
8
11.答案：B
解析：
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【分析】
本题考查子集与真子集． 解析：
解：因为𝐴⊆{0,1,2,}，
所以集合A是集合{0,1,2}的子集，而集合{0,1,2}的子集有8个，除去空集余7个． 故选B．
12.答案：B
解析：解：令𝑓(𝑥)=2𝑥−𝑥−2，
𝑓(−3)=2−3+3−2=8>0，𝑓(−2)=∵𝑓(0)=20−0−2=−1<0，𝑓(1)=21−1−2=−1<0，2−2+2−2=4>0，𝑓(−1)=2−1+1−2=−2<0， ∴𝑓(−2)𝑓(−1)<0，
∴方程2𝑥−𝑥−2=0的一个根所在的区间为(−2,−1)， 故选B．
可以令𝑓(𝑥)=2𝑥−𝑥−2，对其进行求导利用导数研究其单调性，再根据零点定理进行判断； 本题考查函数零点与方程根的关系，根据零点存在定理的运用，考查函数与方程思想，解题的关键是将方程根问题转化为函数的零点问题．
1
1
9
13.答案：充要
解析： 【分析】
本题考查了函数的奇偶性的判断，充分必要条件的判断，属于容易题． 【解答】
解：当𝑎=0时，𝑓(𝑥)=𝑥3， 有𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，即𝑓(𝑥)是奇函数， 反之，若𝑓(𝑥)是奇函数， 则𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0，
即(−𝑥)3+𝑎(−𝑥)2+𝑥3+𝑎𝑥2=0， 所以，𝑎𝑥2=0恒成立，得𝑎=0．
综上所述，“𝑎=0”是“函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2(𝑥∈𝑅)为奇函数”的充要条件． 故答案为：充要．
14.答案：(1,2)
解析：
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【分析】
本题考查了交集及其运算，是基础题． 【解答】
解：集合𝐴={𝑥|𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥>1}， 则𝐴∩𝐵=(1,2)． 故答案为(1,2)．
15.答案：(−1,1)
解析：易知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−|𝑥|为偶函数，且𝑥∈(0,+∞)时，𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥，在(0,2)上单调递减，
1
(2,+∞)上单调递增，𝑓(𝑥)图象如图所示：
1
若𝑓(−𝑚2−1)<𝑓(2)，
则只需−2<−𝑚2−1<2，解得−1<𝑚<1．
2 16.答案：√2
解析： 【分析】
本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，函数的周期性的应用，难度不大，属于基础题． cos4𝑥,𝑥<0
由已知中𝑓(𝑥)={，得到函数的周期，将𝑥=2017代入可得答案．
𝑓(𝑥−2),𝑥≥0【解答】 解：∵𝑓(𝑥)={
cos𝑥,𝑥<0
4𝜋
𝜋
，𝑥≥0时，函数是周期函数，周期为2，
𝑓(𝑥−2),𝑥≥0
𝜋
√2， 2
∴𝑓(2017)=𝑓(2015)=𝑓(2013)=⋯=𝑓(1)=𝑓(−1)=cos(−4)=故答案为：√．
2217.答案：解：因为𝐵={𝑥|𝑥−1≥8−2𝑥}={𝑥|𝑥≥3}，
所以𝐴∩𝐵={𝑥|3≤𝑥<4}，𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥≥1}， 𝐶𝑅𝐴={𝑥|𝑥<1或𝑥≥4}，𝐶𝑅𝐵={𝑥|𝑥<3}
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所以(𝐶𝑅𝐴)∩(𝐶𝑅𝐵)={𝑥|𝑥<1或𝑥≥4}∩{𝑥|𝑥<3}={𝑥|𝑥<1}．
解析：本题考查了学生对集合运算的掌握，化简集合B，然后依次求交集，并集及补集的混合运算及可，属于基础题．
18.答案：解：(1)依题意，若𝑎=1，则𝐵={𝑥|𝑥≥2}，
∴𝐴∪𝐵=[1,+∞)， (∁𝑈𝐴)∩𝐵=⌀ ；
(2) ①𝑎=−1时，𝐵=⌀，合符题意； ②𝑎<−1时，𝐵=(−∞,]，不合题意；
𝑎+1
③𝑎>−1时，𝐵=[𝑎+1,+∞)，因为𝐵⊆𝐴，所以𝑎+1≥1，即−1<𝑎≤3． 综上可知实数a的取值范围为[−1,3].
4
4
4
解析：此题考查了交、并、补集的混合运算，考查集合的关系，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．
(1)当𝑎=1时，求出集合B，即可求𝐴∪𝐵，(∁𝑈𝐴)∩𝐵；
(2)若𝐵⊆𝐴，分类讨论，建立不等式，即可求实数a的取值范围．
19.答案：解：①𝑓(𝑥)的图象如图所示，
函数的定义域为R，值域为R．
𝑎≤−1𝑎≥1−1<𝑎<11
11或{21②𝑓(𝑎)=，即为{{或2𝑎=2𝑎+5=2𝑎=．
2
2
则𝑎=−2或𝑎=±√或𝑎∈⌀，
2
2故𝑎=±√或−2．
2
9
9
2
解析：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象的作法，及函数的定义域和值域，注意求并集，同时考查分段函数值的所对应的自变量的值，属于中档题．
①作出𝑓(𝑥)的图象，注意端点的表示，通过图象写出函数的定义域和值域，注意求并集；
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𝑎≤−1−1<𝑎<1𝑎≥1
1或{2𝑎=1.解出a的值即可． ②结合分段函数，𝑓(𝑎)=2，即为{𝑎+5=或{𝑎2=1
2
1
2
2
20.答案：解：(1)函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥，设2<𝑥1<𝑥2，
则有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=𝑥1+𝑥−𝑥2−𝑥
1
2
4
44
=(𝑥1−𝑥2)+(𝑥−𝑥)=(𝑥1−𝑥2)+
1
2
44
4(𝑥2−𝑥1)𝑥1⋅𝑥2
=(𝑥1−𝑥2)×
𝑥1⋅𝑥2−4𝑥1⋅𝑥2
，
∵2<𝑥1<𝑥2，∴𝑥1−𝑥2<0，𝑥1⋅𝑥2−4>0,𝑥1⋅𝑥2>0， ∴(𝑥1−𝑥2)×
𝑥1⋅𝑥2−4𝑥1⋅𝑥2
<0，即 𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，
故函数𝑓(𝑥)在区间(2,+∞)上单调递增． (2) ∵ 𝑓(𝑥)在区间(2,5)上单调递增， ∴4<𝑓(𝑥)<5+5=
4
295
，
29
即𝑓(𝑥)的取值范围为(4,5)．
解析：本题主要考查函数的单调性的应用，函数的单调性的性质，属于基础题．
(1)函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥，利用函数的单调性的定义，证明函数𝑓(𝑥)在区间(2,+∞)上单调递增． (2)函数𝑓(𝑥)在(2,5)上单调递增，可得𝑓(𝑥)的取值范围．
4
21.答案：解：当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本𝑦(万元)与年产量𝑥(吨)之间的关系
可近似地表示成𝑦=可得平均成本为：
𝑥10𝑥210
−30𝑥+4000，
4000𝑥
+−30≥2√
𝑥10
⋅
4000𝑥
−30=10，当且仅当𝑥=200时取等号，
年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元．
解析：利用函数的解析式求出平均成本的表达式，利用基本不等式求解即可． 本题考查函数的模型的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
22.答案：(1)解：令𝑥=𝑦=0，
∵𝑓(0)>0，
∴𝑓(0)=𝑓(0×0)=[𝑓(0)]0=1． (2)证明：∵𝑓(1)=𝑓(3×3)=[𝑓(3)]3， ∵𝑓(3)>1， ∴𝑓(1)>1．
∵对任意的x，𝑦∈𝑅，𝑓(𝑥𝑦)=[𝑓(𝑥)]𝑦； 令𝑥=1，则𝑓(𝑦)=[𝑓(1)]𝑦，
1
1
1
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再令𝑦=𝑥，则𝑓(𝑥)=[𝑓(1)]𝑥． (3)解：∵𝑓(1)>1，
∴𝑓(𝑥)=[𝑓(1)]𝑥是R上的增函数，
∵𝑓(3𝑥)−𝑓(9𝑥−3𝑥+1−2𝑘)>0对任意的𝑥∈[0,1]恒成立， ∴3𝑥>9𝑥−3𝑥+1−2𝑘对𝑥∈[0,1]恒成立． 即2𝑘>9𝑥−4×3𝑥对𝑥∈[0,1]恒成立．
令𝑔(𝑥)=9𝑥−4×3𝑥=(3𝑥)2−4×3𝑥=(3𝑥−2)2−4在[0,1]上单调递减， ∴𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑔(0)=−3． ∴2𝑘>−3． ∴𝑘∈(−,+∞)．
23
解析：本题考查抽象函数，函数的单调性，正确理解和应用新定义，函数的单调性，指数函数的单调性等是解题的关键．
(1)利用所给条件(1)(2)即可得出；
(2)令𝑥=3，𝑦=3，代入条件(2)，再利用(3)即可得出．对任意的x，𝑦∈𝑅，𝑓(𝑥𝑦)=[𝑓(𝑥)]𝑦；分别取𝑥=1之后，再令𝑦=𝑥即可．
(3)利用(2)的结论可得：𝑓(𝑥)=[𝑓(1)]𝑥是R上的增函数，即可得出3𝑥>9𝑥−3𝑥+1−2𝑘对𝑥∈[0,1]恒成立．通过分离参数可得2𝑘>9𝑥−4×3𝑥对𝑥∈[0,1]恒成立．利用二次函数的单调性即可得出．
1
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