工程流体力学答案详解

1－1 已知油的重度为7800N/m3，求它的密度和比重。又，0.2m3此种油的质量和重量各为多少？

已已知知：：γ＝7800N/m3；V＝0.2m3。 解解析析：：(1) 油的密度为 g7800795kg/m3； 9.81油的比重为 SHO27950.795 1000(2) 0.2m3的油的质量和重量分别为 MV7950.2159kg GV78000.21560N

1－2 已知300L(升)水银的质量为4080kg，求其密度、重度和比容。 已已知知：：V＝300L，m＝4080kg。 解解析析：：水银的密度为 m40803 13600kg/m3V300103水银的重度为 g136009.81133416N/m 水银的比容为 v117.353105m3/kg

136001－3 某封闭容器内空气的压力从101325Pa提高到607950Pa，温度由20℃升高到78℃，空气的气体常数为287.06J/kg·K。问每kg空气的体积将比原有体积减少多少？减少的百分比又为多少？

已已知知：：p1＝101325Pa，p2＝607950Pa，t1＝20℃，t2＝78℃，R＝287.06J/kg·K。 解解析析：：由理想气体状态方程(1－12)式，得 v1RT1287.06(20273)0.83m3/kg p1101325RT2287.06(78273)0.166m3/kg p26079503 v2 v1v20.830.1660.664m/kg

v1v20.830.166100%100%80% v10.83每kg空气的体积比原有体积减少了0.664m3；减少的百分比为80％。

1－4 图示为一水暖系统，为了防止水温升高时体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一膨胀水箱，使水有膨胀的余地。若系统内水的总体积为8m3，加温前后温差为50℃，在其温度范围内水的膨胀系数为βT＝9×104 1/℃，求膨胀水箱的最小容积。

－

已已知知：：V＝8m3，Δt＝50℃，βT＝9×104 1/℃。

－

解解析析：：(1) 由(1－11)式T1dV，得膨胀水箱的最小容积为 VdT4 VVTT8910500.36m3

－10

1－5 图示为压力表校正器。器内充满压缩系数为βp＝4.75×10为2mm，当压力升高至20MPa时，问需将手轮摇多少转？

－

已已知知：：p0＝105Pa，p＝20MPa，βp＝4.75×1010 1/Pa，

1/Pa的油液，器内压

力为105Pa时油液的体积为200mL。现用手轮丝杆和活塞加压，活塞直径为1cm，丝杆螺距

V0＝200mL，d＝1cm，δ＝2mm。 解解析析：：(1) 由(1－9)式p

dV，得 VdpVV0(pp0)p200106(200.1)1064.7510101.89106m3

4V41.89106 n12.04 22d3.140.010.002约需要将手轮摇12转。

1－6 海水在海面附近的密度为1025kg/m3，在海面下8km处的压力为81.7MPa，设海水的平均弹性模量为2340MPa，试求该深度处海水的密度。

已已知知：：ρ0＝1025kg/m3，p0＝0.1MPa，p＝81.7MPa，E＝2340MPa。 解解析析：：由(1－10)式Edp，得海面下8km处海水的密度为 d 0(pp0E)1025(81.70.12340)106E23401061061kg/m3

1－7 盛满石油的油槽内部绝对压力为5×105Pa，若从槽中排出石油40kg，槽内压力就降低至l05Pa。已知石油的比重为0.9，体积弹性系数为1.35×109N/m2，求油槽的体积。

已已知知：：(1) p1＝5×105Pa，p2＝l05Pa，Δm＝40kg，S＝0.9，E＝1.35×109 N/m2。 解解析析：：从油槽中排出石油的体积为 Vm4023m 0.9100045由(1－10)式EVdp，得油槽的体积为 dVVE21.351093 V 150m5p45(51)101－8 体积为5m3的水在温度不变的条件下，压力从1大气压增加到5大气压，体积减小了1L，求水的体积压缩系数和弹性系数值。

已已知知：：V＝5.0m3，p1＝1.0×105Pa，p2＝5.0×105Pa，ΔV＝1L。 解解析析：：由(1－9)和(1－10)式，得水的体积压缩系数及弹性系数值分别为

dV1.0103 p5.01010m2/N 5Vdp5.0(5.01.0)10 E1p12.0109N/m2 105.0101－9 某液体的动力粘度为0.0045Pa·s，其比重为0.85，试求其运动粘度。 已已知知：：μ＝0.0045Pa·s，S＝0.85。 解解析析：：运动粘度为 0.00455.294106m2/s 0.8510001－10 某气体的重度为11.75N/m3，运动粘度为0.157cm2/s，试求其动力粘度。 已已知知：：γ＝11.75N/m3，ν＝0.157cm2/s。

411.750.15710解1.88105Pas 解析析：：动力粘度为 g9.811－11 温度为20℃的空气在直径为2.5cm的管道中流动。在距管壁1mm处空气流速为3cm/s，试求：(1)管壁处的切应力；(2)单位管长的粘性阻力。

－6

已已知知：：d＝2.5cm，u＝3cm/s，δ＝1mm，μ＝18.08×10Pa·s。

解解析析：：根据牛顿内摩擦定律，得管壁处的切应力为 0du0.03018.081065.424104N/m2 dy0.001单位管长的粘性阻力为

45 T0A5.424103.140.02514.25810N/m

1－12 有一块30×40cm2的矩形平板，浮在油面上，其水平运动的速度为10cm/s，油层厚度δ＝10mm，油的动力粘度μ＝0.102Pa·s，求平板所受的阻力。

已已知知：：A＝30×40cm2，u＝10cm/s，δ＝10mm，μ＝0.102Pa·s。 解解析析：：根据牛顿内摩擦定律，得平板所受的阻力为 Tdu0.10A0.1020.30.40.12N dy0.011－13 上下两块平行圆盘，直径均为d，间隙厚度为δ，间隙中液体的动力粘度为μ，若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转，求所需力矩M的表达式。

已已知知：：d，δ，μ，ω。

解解析析：：(1) 根据牛顿内摩擦定律，可得半径为r处，微元面积为2πrdr间隙力矩为 dMrdTrr232rdrrdr 

4d4r积分上式，得所需力矩M的表达式为 M2321－14 图示为一转筒粘度计，它由半径分别为r1及r2的内外同心圆筒组成，外筒以角速度n r/min转动，通过两筒间的液体将力矩传至内筒。内筒挂在一金属丝下，该丝所受扭矩M可由其转角来测定。若两筒间的间隙及底部间隙均为δ，筒高为h，试证明动力粘度μ的计算公式为：

60M

2r12n(4r2hr12)已已知知：：n，M，r1，r2，δ，h。

解解析析：：依据题意，由牛顿内摩擦定律，可得圆筒侧部间隙力矩为 M1r1T1r1rdu22A1r122r1hr1r2h dr圆筒底部半径为r处，微元面积为2πrdr间隙力矩为

r232rdrrdr 4积分上式，得圆筒底部间隙力矩为 M2r1

22242则金属丝所受扭矩为 MM1M2r1r2hr1r1(4r2hr12)

22 dM2rdT2r由于2M60M2n，所以动力粘度为  22222r(4rhr)rn(4rhr)601211211－15 一圆锥体绕其中心轴作等角速度ω＝16 1/s旋转，锥体与固定壁面间的距离δ＝1mm，用μ＝0.1Pa·s的润滑油充满间隙，锥体半径R＝0.3m，高H＝0.5m，求作用于圆锥体的阻力矩。

已已知知：：R＝0.3m，H＝0.5m，ω＝16 1/s，δ＝1mm，μ＝0.1Pa·s。 解解析析：：(1) 设圆锥的半锥角为α，则高度为h处的半径 rhtg tgR0.30.6 H0.5HRH22 cos0.50.30.5220.857

在微元高度dh范围内的圆锥表面积为

dA2rdh2tghdh

coscosdur dy设在间隙δ内的流速为线性变化，即速度梯度为 则在微元高度dh范围内的力矩为

r2tg2tg33hdhhdh dMrdArcoscos积分上式，得作用于圆锥体的阻力矩为

tg33.140.1160.634H0.5439.6Nm M2cos20.0010.8571－16 空气中水滴直径为0.3mm时，其内部压力比外部大多少？ 已已知知：：d＝0.3mm，σ＝0.0728N/m。 解解析析：：水滴内部与外部的压力差为 p220.0728971Pa R0.151031－17 在实验室中如果用内径0.6cm和1.2cm的玻璃管作测压管，管中水位由于毛细管现象而引起的上升高度各为多少？

已已知知：：d1＝0.6cm；d2＝1.2cm，σ＝0.0728N/m，θ＝0°。

解解析析：：由(1－30)式，得管中水位由于毛细管现象而引起的上升高度分别为

4cos40.0728cos0 h14.95103m5mm

gd110009.810.0064cos40.0728cos0 h22.47103m2.5mm

gd210009.810.0121－18 两块竖直的平行玻璃平板相距1mm，求其间水的毛细升高值。 已已知知：：δ＝1mm，σ＝0.0728N/m，θ＝0°。

解解析析：：设两块玻璃板的宽度均为l，由水柱的重量与表面张力的垂直分量相平衡，可得 2lcoslhg

则

2cos20.0728cos0 h0.0148m14.8mm

g10009.810.001第二章 流体静力学

2－1 质量为1000kg的油液(S＝0.9)在有势质量力F2598i11310k(N)的作用下

处于平衡状态，试求油液内的压力分布规律。

已已知知：：m=1000kg，S=0.9，F2598i11310k。 解解析析：：油液所受单位质量力的分量分别为

fxFxF2598113102.598N/kg；fy0；fzz11.31N/kg m1000m1000代入(2－8)式，得 dp(fxdxfydyfzdz)0.9103(2.598dx11.31dz) 积分上式，得 p(2338.2x10179z)C

2－2 容器中空气的绝对压力为pB＝93.2kPa，当地大气压力为pa=98.1kPa。试求玻璃管中水银柱上升的高度hv。

已已知知：：pB=93.2kPa，pa=98.1kPa。

解解析析：：依据题意列静力学方程，得 pB汞hvpa 所以 hvpapB汞(98.193.2)1030.0367m36.7mm

13.698102－3 封闭容器中水面的绝对压力为p1＝105kPa，当地大气压力为pa=98.1kPa，A点在水面下6m，试求：(1)A点的相对压力；(2)测压管中水面与容器中水面的高差。

已已知知：：p1=105kPa，pa=98.1kPa，h1=6m。

解解析析：：(1) 依据题意列静力学方程，得A点的相对压力为

pmAp1pah1(10598.1)109810665760Pa3

(2) 测压管中水面与容器中水面的高差为 hp1pa(10598.1)1030.7m

98102－4 已知水银压差计中的读数Δh＝20.3cm，油柱高h＝1.22m，油的重度γ油＝9.0kN/m3，试求：(1)真空计中的读数pv；(2)管中空气的相对压力p0。

已已知知：：Δh=20.3cm，h=1.22m，γ油=9.0kN/m3。

解解析析：：(1) U型管右侧水银面所在的水平面为等压面，依据题意列静力学方程，得 pv汞h13.698100.20327083Pa

(2) 由于 pm0油h汞h0

所以 pm0(油h汞h)(90001.2213.698100.203)38063Pa

2－5 设已知测点A到水银测压计左边水银面的高差为h1＝40cm，左右水银面高差为h2＝25cm，试求A点的相对压力。

已已知知：：h1=40cm，h2=25cm。

解解析析：：图中虚线所在的水平面为等压面，依据题意列静力学方程，得

pmA水h1汞h298100.413.698100.2537278Pa

2－6 封闭容器的形状如图所示，若测压计中的汞柱读数Δh＝100mm，求水面下深度H＝2.5m处的压力表读数。

已已知知：：Δh=100mm，H=2.5m。

解解析析：：设容器水面上的相对压力为p0，则

p0汞h13.698100.113341.6N/m2 那么，水面下深度H＝2.5m处的压力表读数为

2 pmp0H13341.698102.537866.6N/m

2－7 封闭水箱的测压管及箱中水面高程分别为▽1＝100cm和▽4＝80cm，水银压差计右端高程为▽2＝20cm，问左端水银面高程▽3为多少？

已已知知：：▽1=100cm，▽4=80cm，▽2=20cm。

解解析析：：U型管左侧水银面所在的水平面为等压面，依据题意，可得3点处的静压力为

pm3水(13)汞(23) 所以 3(汞/水)2113.60.21.00.1365m

(汞/水)113.612－8 两高度差z＝20cm的水管，与一倒U形管压差计相连，压差计内的水面高差h＝10cm，试求下列两种情况A、B两点的压力差：(1)γ1为空气；(2)γ1为重度9kN/m3的油。

已已知知：：z=20cm，h=10cm。

解解析析：：设倒U型管上部两流体分界点D处所在的水平面上的压力为p，BC间的垂直距离为l，则有

pAp水(hlz)；pBp1h水l 以上两式相减，得 pApB水(hz)1h

(1) 当γ1为空气时，气柱的重量可以忽略不计，则A、B两点的压力差为 pApB水(hz)9810(0.10.2)2943Pa (2) 当γ1为重度9kN/m3的油时，A、B两点的压力差为

pApB水(hz)1h9810(0.10.2)90000.12043Pa 2－9 有一半封闭容器，左边三格为水，右边一格为油(比重为0.9)。试求A、B、C、D四点的相对压力。

已已知知：：油的比重为0.9，其它尺寸见附图。 解解析析：：根据附图中的数据，得

pmA(0.30.4)水0.798106867Pa pmB0.7水0.798106867Pa pmCpmB6867Pa

pmDpmB(0.30.71.0)油68672.00.9981024525Pa

2－10 一小封闭容器放在大封闭容器中，后者充满压缩空气。测压表A、B的读数分别为8.28kPa和13.80kPa，已知当地大气压为100kPa，试求小容器内的绝对压力。

已已知知：：pm1=13.80kN/m2，pb2=8.28kN/m2，pa=100kPa。

解解析析：：设大容器中压缩空气的绝对压力为p1，小容器中流体的绝对压力为p2。

2则有 p1pm1pa13.80100113.8kN/m

p2p1pb2113.808.28122.08kN/m2 hp2汞122.081030.915mHg915mmHg 13.698102－11 两个充满空气的封闭容器互相隔开，左边压力表M的读数为100kPa，右边真空计V的读数为3.5mH2O，试求连接两容器的水银压差计中h的读值。

已已知知：：pm1=100kPa，pv2=3.5mH2O。 解解析析：：根据题意可知

p1pm1pa， p2papv2

hp1p2汞pm1pv2汞1001033.5981013.69810

1.0mHg2－12 水泵的吸入管与压出管的管径相同，今在其间连接一水银压差计，测得Δh＝720mm，问经水泵后水增压多少？若将水泵改为风机，则经过此风机的空气压力增加了多少？

已已知知：：Δh=720mm，d1=d2。

解解析析：：(1) 设1点至U型管左侧水银面的距离为l，U型管右侧水银面所在的水平面为等压面，列静力学方程

p1l汞hp2(lh) 则经水泵后水增压为

pp2p1(汞)h(13.61)98100.7288996Pa (2) 若将水泵改为风机，则经过此风机的空气压力增加值为 pp2p1汞h13.698100.7296060Pa

2－13 有两个U形压差计连接在两水箱之间，读数h、a、b及重度γ已知，求γ1及γ2

的表达式。

已已知知：：h，a，b，γ。

解解析析：：设l1及l2分别为右侧水箱液面至上、下U型管右侧液体分界面1和2点间的距离，由于在两U型管内1和2所在的水平面均为等压面，分别列两侧的静力学方程，得

pm1(l1ah)1al1 pm2(l2hb)2bl2 整理以上两式，得 1ahbh， 2 ab2－14 用真空计测得封闭水箱液面上的真空度为981N/m2，敞口油箱中的油面比水箱水面低H＝1.5m，汞比压计中的读数h1＝5.6m，h2＝0.2m，求油的比重。

已已知知：：pv=981N/m2，H＝1.5m，h1＝5.6m，h2＝0.2m。

解解析析：：设U型管中汞水分界面上的压力为p，该处所在的水平面为等压面，由静力学方程可得

ppv水(Hh1h2)油h1汞h2

S油

pv水(Hh1h2)汞h2水h1[0.1(1.55.60.2)13.60.2]98100.898105.6

2－15 试比较同一水平面上的1、2、3、4、5各点压力的大小，并说明其理由。 已已知知：：1、2、3、4、5在同一水平面上。

解解析析：：设U型管内液体的重度为γ1，容器内液体的重度为γ2，且γ1＞γ2；设2点至其下部气-液分界面的距离为h1，4点至其下部液-液分界面的距离为h2；设2点下部气液分界面上的压力为p01，设容器底部液-液分界面上的压力为p02。

(1) 由于p1p011h1，p2p01，则有p2p11h1，所以p2p1；

(2) 由于容器内液面上的压力等于p2p01，而3、4点在同一液体内部，所以，

p3p4p2；

(3) 由于p4p022h2，p5p021h2，则有p4p5(12)h20，所以，

p4p5。

2－16 多管水银测压计用来测水箱中的表面压力。图中高程的单位为m，当地大气压力为105Pa，试求水面的绝对压力p0。

已已知知：：所有尺寸见附图，当地大气压力为105Pa。

解解析析：：左右两侧的U型管，以及中部的倒U型管中1、2、3点所在的水平面均为等压面，依据题意列静力学方程

p3pa(2.31.2)汞pa1.1汞 p1p2(2.51.4)汞pa2.2汞 又因为 p0(3.01.4)水p1

所以 p0p11.6水pa2.2汞1.6水

10(2.213.61.6)98103.77810Pa

2－17 倾斜式微压计中工作液体为酒精(ρ＝800kg/m3)，已测得读数l＝50cm，倾角α＝30°，求液面气体压力p1。

已已知知：：l=50cm，α=30°，ρ=800kg/m3。 解解析析：：酒精液面所在的水平面为等压面，根据题意得 pm1lsin8009.810.5sin301962Pa

2－18 U形水银压差计中，已知h1＝0.3m，h2＝0.2m，h3＝0.25m。A点的相对压力为pA＝24.5kPa，酒精的比重为0.8，试求B点空气的相对压力。

已 已知知：：h1=0.3m，h2=0.2m，h3=0.25m。pA=24.5kPa，S=0.8。解解析析：：因为左右两侧的U型管，以及中部的倒U型管中1、2、3点所在的水平面均为等压面，依据题意列静力学方程，得

p3pB汞h3， p2p3酒精h2， p1p2汞h2， pA水(h1h2)p1 将以上各式整理后，可得到B点空气的相对压力为

55pBpA水(h1h2)酒精h2汞(h2h3)

24.51039810[(0.30.2)0.80.213.6(0.20.25)] 2.906104Pa以mH2O表示为 hpB水2.9061042.96mH2O

98102－19 一直立的煤气管，在底部的测压管中读数为h1＝100mmH2O，在H＝20m高处测得h2＝115mmH2O。管外空气的重度γa＝12.64N/m3，求管中静止煤气的重度。

已已知知：：h1=100mmH2O，h2=115mmH2O，H=20m，γa=12.64N/m3。 解解析析：：列1、2两截面间的静力学方程，基准面取在1截面所在的水平面上，得 pm1pm2(ga)H 所以，管道中静止煤气的重度为

(h2h1)水pm2pm1gaaHH

(0.1150.1)981012.645.28N/m3202－20 图示封闭容器中有空气、油和水三种流体，压力表A读数为－1.47N/cm2。(1)试绘出容器侧壁上的静压力分布图；(2)求水银测压计中水银柱高度差。

已已知知：：h1=3m，h2=2m，h3=0.6m，pm0=－1.47N/cm2，S油=0.7。 解解析析：：设油水分界面上的相对压力为pm1，容器底部的相对压力为pm2，U型管左侧汞水分界面上的相对压力为pm3，油深为h1，水深为h2，根据静力学方程，得

pm1pm0油h11.471040.7981035901Pa pm2pm1水h259019810225521Pa pm3pm2水h32552198100.631407Pa (1) 根据以上数据即可绘出容器侧壁上的静压力分布图(右图)； (2) 水银测压计中水银柱高度差为 hpm3汞314070.235m235mm

13.698102－21 三个U形水银测压计，其初始水银面如图A所示。当它们装在同一水箱底部时，使其顶边依次低下的距离为a＝1m，水银的比重为13.6，试问三个测压计中的读数h1、h2、h3各为多少？

已已知知：：a=1m，S=13.6。

解解析析：：U型管两侧的初始水银面为同一水平面，如图A所示，当它们装在水箱底部时，左侧水银面下降程

11h，而右侧水银面上升h，根据图示，分别列出三个U型管的静力学方22ah1)水汞h1； 22ah (2a2)水汞h2；

22ah (3a3)水汞h3

22 (a以上三式两边分别同乘以2/水，整理后可得 h13a5a7a， h2， h3

2汞/水12汞/水12汞/水1代入数据得 h10.1145m114.5mm，h20.1908m190.8mm， h30.2672m267.2mm。

2－22 已知U形管水平段长l＝30cm，当它沿水平方向作等加速运动时，h＝10cm，试求它的加速度a。

已已知知：：l=30cm，h=10cm。

解解析析：：建立坐标系如图所示，U形管内液体所受单位质量力分别为 fxa， fy0， fzg

代入等压面微分方程(2－13)式，积分得等压面方程为

axgzC

由边界条件：当x0时，z0，得C0。将xl，z a121h代入上式得加速度为 2zh0.1gg9.813.27m/s2 xl0.32－23 图示容器中l、h1、h2为已知，当容器以等加速度a向左运动时，试求中间隔板

不受力时a的表达式。若l＝1m，h1＝1m，h2＝2m，a值应为多少？

已已知知：：l=1m，h1=1m，h2=2m。

解解析析：：建立坐标系如图所示，容器内液体所受单位质量力分别为 fxa， fy0， fzg 代入等压面微分方程(2－13)式，积分得等压面方程为

ax1gz1C， ax2gz2C

由边界条件：当x0时，z0，得C0。代入上式得自由面方程为

ax1gz10， ax2gz20

当中间隔板两侧的液体的自由液面处在同一倾斜平面内时，隔板两侧的液面平齐，此时隔板两侧所受静水总压力相等，即中间隔板不受力。

当中间隔板两侧的液体的自由液面处在同一倾斜平面内时，设隔板左侧液面上升的高度为z1，隔板右侧液面下降的高度为z2，根据自由面方程得

z1aaaax1l， z2x2l ggg2g3alh2h1 2g又知 z1z2所以 a2g29.81(h2h1)(21)6.54m/s2 3l312－24 一矩形水箱长为l＝2.0m，箱中静水面比箱顶低h＝0.4m，问水箱运动的直线加速度多大时，水将溢出水箱?

已已知知：：l=2.0m，h=0.4m。

解解析析：：建立坐标系如图所示，水箱中水所受单位质量力分别为 fxa， fy0， fzg

代入等压面微分方程(2－13)式，积分后得等压面方程为

axgzC

由边界条件：当x0时，z0，得C0。将xl，zh代入上式得加速度为

a12z2gh29.810.4g3.924m/s2 xl2.02－25 一盛水的矩形敞口容器，沿α＝30°的斜面向上作加速度运动，加速度a＝2m/s2，求液面与壁面的夹角θ。

已已知知：：a＝2m/s2，α＝30°。

解解析析：：建立坐标系如图所示，容器中水所受单位质量力分别为 fxaxacos2.0cos301.732m/s

2fzazgasing2.0sin309.8110.81m/s2

质量力的作用线与铅直线的夹角为

tg1fx1.732tg－19.1 fz10.81由于质量力与自由液面(等压面)处处正交，所以，由图可得液面与壁面的夹角θ为

9090309.150.9

2－26 图示为一圆筒形容器，半径R=150mm，高H=500mm，盛水深h=250mm。今以角速度ω绕z轴旋转，试求容器底开始露出时的转速。

已已知知：：R=150mm，H=500mm，h=250mm。

解解析析：：建立圆柱坐标系，坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为

2rdrgdz0

积分上式得

122rgzC 2在自由表面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是得自由液面方程为

122rs－gzs0 212gzs rs于是 容器上缘处坐标为：r＝R＝0.15m，z＝H＝0.5m，代入上式，得

129.810.520.88rad/s 0.15606020.88199.5r/min 223.14则容器底开始露出时的转速为

n2－27 圆柱形容器的半径R＝15cm，高H＝50cm，盛水深h＝30cm。若容器以等角速度ω绕z轴旋转，试求ω最大为多少时才不致使水从容器中溢出？

已已知知：：R=15cm，H=50cm，h=30cm。

解解析析：：建立圆柱坐标系，坐标原点取在旋转抛物面顶点上。 等压面微分方程为 rdrgdz0 积分上式得

2122rgzC 2在自由表面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。 于是得到自由液面方程为 zs2rs22g

由于容器旋转后，水面最高点正好达到容器上缘，故没有水溢出。所以抛物体的空间体积应等于原静止时水面上部容器空间的体积。抛物体空间的体积为

V1rdzsrd(00R2sR2s2rs22g4)r0R2s22g2rsdrs

g2R0rs3drsR4g2静止时容器上部空间的体积为 V2R(Hh) 因为V1＝V2，于是

22R44gR2(Hh)

所以

22g(Hh)9.81(0.50.3)18.68rad/s R0.152－28 一封闭容器，直径D＝0.6m，高H＝0.5m，内装水深至h＝0.4m，上部装比重S＝0.8的油。封闭容器的上盖中心有一小孔，当容器绕z轴旋转时，使油水分界面下降至底部中心，试求：(1)这时的旋转角速度；(2)a、b、c、d各点的压力(用mH2O表示)；(3)液体作用在容器底和顶盖上的力。

已已知知：：D=0.6m，H=0.5m，h=0.4m，S=0.8。

解解析析：：(1) 建立圆柱坐标系，坐标原点取在容器底部中心处。等压面微分方程为 rdrgdz0 积分上式得

2122rgzC 2在油水分界面上，当r＝0时，z＝0，则积分常数C＝0。于是油水分界面方程为

122r－gz0 2那么，在顶盖上的油水分界点rr0、zH处，有 1r02gH ①

又知容器中水面以上油的体积为 V容器旋转后，抛物体的体积为 V1D2(Hh) 44g

2r04由 VV，得 r04联立①式和②式，得

D2g(Hh)2 ②

2gHDg(Hh)229.810.50.69.81(0.50.4)216.5rad/s

r04D2g(Hh)2220.69.81(0.50.4)40.19m 216.5压力微分方程为 dp(rdrgdz) 积分上式，得相对压力分布式为

p(2r22gz)C

由边界条件：r=0，z=0时，p油H，得C油H。则

p(2r22gz)油H(2r22gz)油H

那么，水的相对压力分布式为

p水(2r22gz)油H水(2r22gz)油H ③

油的相对压力分布式为

p油(2r22gz)油H油(2r22gz)油H ④

(2) 由水静力学基本方程(2－17)及上述③式，得a、b、c、d各点的相对压力分别为 pa0

pb油H0.898100.53924Pa0.4mH2O

16.520.32pd水油H98100.898100.5 2g29.8116175Pa1.65mH2O pcpd水H1617598100.511270Pa1.15mH2O

(3) 将上述③、④两式对容器顶盖面积积分，注意到zH，得液体作用在顶盖上的力为

2R2H2rdrpzH2rdrF1pz0r0r0R

r02r2油2g4g02rdr[水(r0440R2r22gH)油H]2rdr2水油4(Rrr0)H(水油)(R2r02)

水3.1416.52103(0.340.1940.80.194)43.140.59810(10.8)(0.320.192)1510N将上述③式对容器底面积积分，注意到z0，得液体作用在容器底上的力为

F2pzH2rdr(0024RR2r22g水油H)2rdr2R4水4g油HR2

3.1416.50.310003.140.898100.50.322840N42－29 已知矩形闸门高h＝3m，宽b＝2m，上游水深h1＝6m，下游水深h2＝4.5m，求：(1)作用在闸门上的总静水压力；(2)压力中心的位置。

已已知知：：h=3m，h1=6m，h2=4.5m，b=2m。 解解析析：：(1) 闸门左侧所受的总压力为

hP1hc1A(h1)bh2 39810(6)23264.87kN2左侧压力中心到闸门中心的距离为

13bh3Ixc23 e1hD1hc1120.167m

h3hc1A(h1)bh12(6)2322闸门右侧所受的总压力为

P2hc2A(h2)bh9810(4.5)23176.58kN 右侧压力中心到闸门中心的距离为

h23213bhIxc23312 e2hD2hc20.25m

h3hc2A(h2)bh12(4.5)2322闸门所受的总压力为

PP1P2264.87176.5888.29kN 总压力的方向指向右侧。

(2) 为求压力中心的位置，设总压力的作用点距底部O点的距离为a，对O点取矩，得 PaP1(e1)P2(e2)

h2h2hh33P(e)P(e)264.87(0.167)176.58(0.25)11222222则 a1.5m

P88.292－30 在倾角α＝60°的堤坡上有一圆形泄水孔，孔口装一直径d＝1m的平板闸门，闸门中心位于水深h＝3m处，闸门a端有一铰链，b端有一钢索可将闸门打开。若不计闸门及钢索的自重，求开启闸门所需的力F。

已已知知：：d=1m，hc=3m，α=60°。 解解析析：：(1) 闸门所受的总压力为 PhcA9810313.141.022.31104N23.1kN 4(2) 压力中心到闸门中心的距离为

Ixcd2sin1.02sin6064 eyDyc0.018m

hycA16hc163cd2sin4d(3) 对闸门上端a点取矩，得 FdcosP(e)

2则开启闸门所需要的力为

d4d1.0P(e)2.31104(0.018)2223.93kN Fdcos1.0cos602－31 有一三角形闸门，可绕AB轴旋转，油液的重度为γ，求液体对闸门的总压力及总压力对AB轴的力矩。

已已知知：：h，b，γ。

解解析析：：液体对闸门的总压力为

21bh2 PhcAhbh

323压力中心距AB的距离可图解法来确定，或由惯性积计算确定为

3b。 83bbh23bb2h2则总压力对AB轴的力矩近似为 MP 83882－32 倾斜的矩形平板闸门，长为AB，宽b＝2m，设水深h＝8m，试求作用在闸门上的静水总压力及其对端点A的力矩。

已已知知：：b=2m，h=8m，h0=BE=4m，l0=AE=3m。 解解析析：：依据图意知 AB32425.0m；

2闸门面积为 AABb5.02.010m。

闸门所受的总压力为

11PpcA(hh0)A(84)981010 22588.6kN压力中心D距形心C的距离为

311bAB2.05.03I12120.278m eyDycxc15.0ycA1AB10(hh0)A(84)24.02h0压力中心D距A点的距离为 ADACe2.50.2782.222m 静水总压力对端点A的力矩为

MPAD588.62.2221308kNm

2－33 矩形平板闸门，宽b＝0.8m，高h＝1m，若要求箱中水深h1

超过2m时，闸门即可自动开启，铰链的位置y应设在何处？

已已知知：：b=0.8m，h=1m，h1≥2m。

解解析析：：当铰链的位置高于压力中心的位置时，即y≥h1－hD时，闸门即可自动开启。闸门所受的总压力为

PpcA(h1)A(2)981010.811772N 压力中心的位置为

h21213bhIxch10.81312 hDhc(h1)(2)1.556m

h1hcA22(h1)bh12(2)0.8122那么，铰链的位置y为 yh1hD21.5560.444m

2－34 金属的矩形平板闸门，宽1m，由两根工字钢横梁支撑。闸门高h＝3m，容器中水面与闸门顶齐平，如要求两横梁所受的力相等，两工字钢的位置y1和y2应为多少？

已已知知：：b=1m，h=3m。

解解析析：：容器液面上的相对压力为pA0，容器底面上的相对压力为pEh9810329430N，据此绘制矩形平板闸门的静压力分布图，如图所示。将静压力分布图的面积两等分，得△ABD和梯形BCDE。 由

11CEAE BDADCEAE，得 BD242ADBDADCEAD，得 BD CEAEAE由

比较以上两式，得 ADAEh3CEADCE2.12m； BD

AE2222 DEAEADhh22(1)h(1)30.879m

2222处，而总压力的作用线通过静压力分布图的形心，3由于△ABD的形心位于A点以下

所以得 y1223AD21.414m 332梯形BCDE的形心距离容器底面的距离为

CECEDE2BDCEDE222hy2DE0.8790.414m 3BDCE333CECE22所以 y230.4142.586m

2－35 一弧形闸门，宽2m，圆心角α＝30°，半径r＝3m，闸门转轴与水平面齐平，求作用在闸门上的静水总压力的大小与方向(即合力与水平面的夹角)。

已已知知：：b=2m，r=3m，α=30°。

解解析析：：由图可知 hrsin3sin301.5m

弧形闸门所受的水平分力为

Px11bh2981021.522.207104N 22弧形闸门所受的水平分力为

11r2hrcos)b 1221123 (3.1431.53cos30)298107.9710N

122 PzVP(总合力为 PPx2Pz222.0727.97223.46kN

1总合力与水平面的夹角为 tgPz7.97tg119.86 Px22.072－36 一圆柱形闸门，长l＝10m，直径D＝4m，上游水深h1＝4m，下游水深h2＝2m，求作用在该闸门上的静水总压力的大小与方向。

已已知知：：l=10m，D=4m，h1=4m，h2=2m。

解解析析：：(1) 闸门左侧面所受的水平分力为 Px111h1Dl981044107.848105N 22111h2Dl981024101.962105N 22455闸门右侧面所受的水平分力为

Px2则，闸门所受的总水平分力为

PxPx1Px2(7.8481.962)105.88610N

(2) 依据题意可知，闸门左侧压力体的体积为柱体，总压力体的体积为

11圆柱体，闸门右侧压力体的体积为圆243圆柱体。所以闸门所受的垂直分力为 43132 PzVPDl3.14421098109.241105N

4416总合力为 PPx2Pz25.88629.241210.956105N

1总合力与水平面的夹角为 tgPz9.241tg157.5 Px5.8862－37 图示为一封闭容器，宽b＝2m，AB为一1/4圆弧闸门。容器内BC线以上为油，以下为水。U形测压计中液柱高差R＝1m，闸门A处设一铰，求B点处力F为多少时才能把闸门关住。

已已知知：：b=2m，R=1m，S油=0.8，S=3.0。

解解析析：：(1) 设油水分界面上的相对压力为p0。由静力学方程得U型管液、水分界面上的相对压力为

p0水hS水R

则 p0(SRh)水(3.012)98109810Pa A点的相对压力为

pAp0RS油水(110.8)98101962N 圆弧闸门所受的水平分力为 Px(p011RS油水)Rb(110.8)98101211772N 22对应于水平分力的压力中心的位置(A点以下)为

13bR油油Ixc112hDhcR1(pA油hc)A2(pAR油)Rb 212120.8981010.722m1212(196210.89810)2水平分力的方向水平向左。

圆弧闸门所受的垂直分力为

1PzpAAzVP油pARb(R2R2)bS油水4

1196212(13.14)1220.898107298.6N4垂直分力的方向垂直向上。

垂直分力的作用线距A点的水平距离为 l对A点取矩，得 FRPxhDPzl 则 F4R410.425m 333.14PxhDPzl117720.7227298.60.4251.16104N11.6KN

R12－38 用一圆柱形圆木挡住左边的油，油层浮在水面上，设圆木正处于平衡状态，试求：(1)单位长圆木对岸的推力；(2)单位长圆木的重量；(3)圆木的比重。

已已知知：：R=0.8m，S油=0.8。

解解析析：：(1) 由于圆木下部左右两侧所受水的水平作用力大小相等，方向相反，互相抵消，所以，圆木所受的水平分力为油的水平作用力，即

Px11油R2l0.898100.8212511N 22那么，单位长圆木对岸的水平推力为2511N。

(2) 根据图意可知，圆木上部油的压力体体积为VP1(R2R2)l，其垂直分力的方向向下；圆木下部水的压力体体积为VP2141R2l，其垂直分力的方向向上。若设油水分2界面上的相对压力为p0，p0油R，所以圆木所受的总垂直分力为

11PzVP1油(p0Az2VP2水)(R2R2)l油(2R2l油R2l水)42

11[(13.14)0.8(20.83.14)]0.821981018823N42上式中的负号说明垂直分力的方向是向上的。由于圆木处于平衡状态，所以单位长圆木的重量等于圆木所受的垂直分力，为18823N。

(3) 圆木的比重为 SW188230.955 2V水3.140.8198102－39 半径为R的封闭圆柱形容器内装满重度为γ的液体，测压管如图所示，试求：(1)作用在单位长AB面上的水平分力及作用线；(2)作用在单位长AB面上的铅垂分力及作用线。

已已知知：：R，γ。

解解析析：：(1) 由于BD所在的水平面上的相对压力为0，则A点处的相对压力为

pAR。

那么，作用在单位长AB面上的水平分力为 Px水平作用线距A点的垂直距离为

12R 21bR3Ixc1112 hDhcRR 1(pAhc)A23(RR)bR2(2) 作用在单位长AB面上的垂直分力为

11444R垂直作用线距圆柱形容器中心的水平距离为。

32－40 一直径d＝2m的圆柱体，长度l＝1m，放置于α＝60°的斜面上，一侧有水，水

PzpAAzVPR2(R2R2)R2 深h＝1m，求此圆柱体所受的静水总压力。

已已知知：：d=2m，h=1m，l＝1m，α＝60°。 解解析析：：(1) 由于圆柱体下部两侧所受的水平分力相等、相互抵消，所以，圆柱体所受的水平分力为

PxpcAx121hl98101214905N 22(2) 由图根据已知条件可知，压力体的体积为左下部半圆与右上方直角三角形的面积之和，所以，圆柱体所受的垂直分力为

11pzVp(d2h2tg)l82

119810(3.142212tg60)123879.4N82垂直分力的方向向上。因此，圆柱体所受的静水总压力为

PPx2Pz24905223879.422.44104N

静水总压力与水平面的夹角为

tg1Pz23879.4tg178.4 Px49052－41 油库侧壁有一半球形盖，直径为d＝0.6m，半球中心在液面下的淹没深度H＝2.0m，测压管中液面高出油库中液面的高度h＝0.6m，石油重度为6867N/m3，试求液体作用在半球盖上的水平分力及铅垂分力。

已已知知：：d=0.6m，H=2.0m，h=0.6m，γ=6867N/m3。 解解析析：：(1) 油库中液面上的相对压力为 p0h68670.64120.2Pa 那么，液体作用在半球盖上的水平分力为

1PxpcAx(p0H)d24

1(4120.268672.0)3.140.625045.6N4(2) 半球盖的压力体体积为

1球的体积，液面上压力p0对半球盖上半部分作用的垂直2分力，与对下半部分作用的垂直分力相等，相互抵消，所以，液体作用在半球盖上的铅垂分力为

PzVP11d33.140.636867388.1N 1212第三章 流体动力学基础

3－1 已知速度场为u2(xy)i(xy)j(xz)k (m/s)，求(2，3，1)点的速度

和加速度。

已已知知：：ux2(xy)，uyxy，uzxz 解解析析：：(1) (2，3，1)点的速度为

ux2(xy)10m/s，uyxy1m/s，uzxz1m/s uuxuyuz10(1)110.10m/s (2) (2，3，1)点的加速度为

222222

axuxuuuuxxuyxuzxxyz

02(xy)2(xy)206x2y622318m/s2ayuyuxuyxuyuyyuzuyz

02(xy)1(xy)(1)0x3y23311m/s2

azuzuuuuxzuyzuzzxyz

02(xy)10(xz)(1)x2yz22319m/s2 a222axayaz1821129222.93m/s2

23－2 已知速度场为u(3x)i2(y)j(4y3)zk (m/s)，求τ＝2秒时，位

于(2，2，1)点的速度和加速度。

已已知知：：ux3x，uy2(y2)，uz(4y3)z 解解析析：：(1) τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为

ux3x8m/s，uy2(y2)4m/s，uz(4y3)z5m/s uuxuyuz8(4)510.25m/s (2) τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为

222222

axuxuuuuxxuyxuzxxyz

1(3x)3003(3x)13(322)125m/s2ay

uyuxuyxuyuyyuzuyz

202(y2)(4y)08y(y2)282(222)234m/s2azuzuuuuxzuyzuzzxyz

002(y2)4z(4y3)2z8z(y2)(4y3)2z81(222)(423)219m/s2

a222axayaz2523429243.15m/s2

3－3 已知二维流场的速度分布为u(4y6x)i(6y9x)j (m/s)。问：

(1)该流动是稳定流还是非稳定流？是均匀流还是非均匀流？ (2)τ＝1秒时，(2，4)点的加速度为多少？ (3)τ＝1秒时的流线方程？

已已知知：：ux(4y6x)，uy(6y9x)

解解析析：：(1) 因为速度与时间有关，所以该流动是非稳定流动；由下述计算得迁移加速度为零，流线为平行直线，所以该流动是均匀流动。

(2) 加速度的计算式为

axuxuuuuxxuyxuzxxyz

(4y6x)(4y6x)(6)(6y9x)42(2y3x)ayuyuxuyuyuyuzuy

xyz(6y9x)(4y6x)(9)(6y9x)(6)3(2y3x)则τ=1秒、位于(2，4)点的加速度为

ax4m/s，ay6m/s；aaxay7.21m/s (3) 将速度分量代入流线微分方程，得 (6y9x)dx(4y6x)dy0 分离变量，积分得 (9x4y12xy)C 或写成 (3x2y)C

简化上式，得τ=1秒时的流线方程为 (3x2y)C

3－4 已知速度场为ux2y3，uy2x，uz0。求τ＝1时，过(0，2)点的流线方程。

已已知知：：ux2y＋3，uy2x，uz0 解解析析：：将速度分量代入流线微分方程，得

222222222xdx(2y3)dy0 

dz0积分上式，得

(x2y2)y3C1 

zC2则 τ=1秒时，过(0，2)点的流线方程为

x2y2y60 

zC3－5 20℃的空气在大气压下流过0.5m直径的管道，截面平均流速为30m/s。求其体积流量、质量流量和重量流量。

已已知知：：在大气压下20℃空气的密度为1.205kg/m3，管道直径为0.5m，截面平均流速为30m/s。

解解析析：：(1) 体积流量为 QuA11d2u0.52305.89m3/s 441122(2) 质量流量为 MuAdu0.51.205307.09kg/s

44(3) 重量流量为

11d2gu0.521.2059.813069.60N/s 44y23－6 流体在两平行平板间流动的速度分布为 uumax[1()]

b GguA式中umax为两板中心线y＝0处的最大速度，b为平板距中心线的距离，均为常数。求通过两平板间单位宽度的体积流量。

2已已知知：：速度分布为 uumax[1()]

yb解解析析：：由体积流量计算式，得 Qby24udy2u[1()]dybumax A0maxb33－7 下列各组方程中哪些可用来描述不可压缩流体二维流动？ (1) ux2x2y2，uyx3x(y22y) (2) ux2xyx2y，uy2xyy2x2 (3) uxx2y，uyx2y (4) ux(x2y)x，uy(2xy)y 已已知知：：速度分布方程。

解解析析：：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程：

uxuy(1) 4x2xy2x0，不可用来描述不可压缩流体二维流动；

xy(2)

uxuy2y2x2x2y0，可以用来描述不可压缩流体二维流动； xyuxuy(3) 0，可以用来描述不可压缩流体二维流动；

xy(4)

uxuy2x2y2x2y4x0，不可用来描述不可压缩流体二xy维流动。

3－8 下列两组方程中哪个可以用来描述不可压缩流体空间流动？

1(x2y)z2 21222234(2) uxy2xz，uyxyz2yz，uzxzxy

2(1) uxxyz，uyxyz，uz2已已知知：：速度分布方程。

解解析析：：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程： (1)

uxuyuzyzxz2(x2y)z0，可以用来描述不可压缩流体xyz空间流动；

(2)

uxuyuz2zx2z2zx2z2x2z0，不可用来描述不可压缩流xyz体空间流动。

3－9 已知不可压缩流体二维流动在y方向的速度分量为uyy22x2y，求速度在x方向的分量ux。

已已知知：：不可压缩流体二维流动的速度分量 uyy22x2y 解解析析：：由不可压缩流体二维连续性方程

uxuy0，得 xy uxydx(2y2)dx(2xy2x)f(y)

4,uθ4r，求速度在r2uy3－10 已知不可压缩流体在r、θ方向的速度分量分别为urz方向的分量uz。

已已知知：：不可压缩流体在r、θ方向的速度分量为 ur解解析析：：由不可压缩流体三维柱坐标的连续性方程

4,uθ4r。 2rururuθuz0，得 rrrz uz(ururu48)dz(33)dz4r3zf(r，) rrrrr3－11 设不可压缩流体空间流动的两个速度分量为 (1) uxax2by2cz2，uydxyeyzfzx

y2z2x2z2(2) uxln(22)，uysin(22)

bcac其中a、b、c、d、e、f均为常数。已知当z＝0时uz＝0。试求第三个速度分量。 已已知知：：不可压缩流体空间流动的两个速度分量。 解解析析：：(1) 由不可压缩流体空间流动的连续性方程

uxuyuz0，得 xyz

uxuyuz()dz(2axdxez)dzxy1(2axzdxzez2)f(x，y)2

当z=0时，uz0，则f(x，y)0，所以 uz(2axzdxz12ez)。 2uxuy(2) uz()dz(00)dzf(x，y)

xy当z=0时，uz0，则f(x，y)0，所以 uz0。

3－12 已知不可压缩理想流体的压力场为p4x2yyz5z (N/m2)，若流体

322密度ρ＝1000kg/m。g＝9.8m/s。求流体质点在r3ij5k m位置上的加速度。

3

2

3222已已知知：：p4x2yyz5z(N/m)，ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。

解解析析：：由压力分布式得

ppp12x2；4yz2；2yz5； xyz由已知条件，得fx0，fy0，fzg。代入以下欧拉运动微分方程，

1pduxdu1p1axxfx012x2xddxduy1p11pduyaf0(4yz2) fy 得 yydyydduz1p11pduzafg(2yz5)fzzzdzzdfx将ρ=1000 kg/m3；g=9.8 m/s2；x=3，y=1，z=－5代入上式，得 ax0.108m/s2；ay0.029m/s2；az9.815m/s2； a222axayaz(0.108)20.0292(9.815)29.816m/s2

3－13 已知不可压缩理想流体稳定流动的速度场为

22232 u(3x2xy)i(y6xy3yz)j(zxy)k (m/s)

求流体质点在(2，3，1)点处的压力梯度。ρ＝1000kg/m3，g＝9.8m/s2。

22232已已知知：：ux3x2xy；uyy6xy3yz；uz(zxy)；

ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。 解解析析：：由加速度计算式，得

ax

duxuxuuuuxxuyxuzxdxyz(3x22xy)(6x2y)(y26xy3yz2)(2x) 18x36x2y2xy26xyz2ay

duyduyuxuyxuyuyyuzuyz(3x22xy)(6y)(y26xy3yz2)(2y6x3z2)(z3xy2)6yz 18x2y6xy22y39y2z236xyz26xy3z3yz4az

duzuzuuuuxzuyzuzzdxyz(3x22xy)y2(y26xy3yz2)2xy(z3xy2)(3z2) 9x2y23xy2z23z5将上式代入欧拉运动微分方程，

1pduxxd1pduy fy

yd1pduzfzzdduxp3222(f)(18x6xy2xy6xyz)xxdduyp得 (fy)(18x2y6xy22y39y2z236xyz26xy3z3yz4)

dypduz(f)(g9x2y23xy2z23z5)zdzfx将ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2；x=2，y=3，z=1代入上式，得

ppp72kN/m3；288kN/m3；282.8kN/m3 xyzpppijk72i288j282.8kkN/m3 则 gradpxyz3－14 已知不可压缩理想流体的速度场为u(x2y)i(y2x)j (m/s)，流体密

度ρ＝1500kg/m3，忽略质量力，求τ＝1s时位于(x，y)处及(1，2)点处的压力梯度。

已已知知：：ux(x2y)，uy(y2x)；ρ=1500kg/m3；f0。 解解析析：：由加速度计算式，得

axuxuuuxxuyx(x2y)(x2y)(y2x)(2)xy(x2y)(12)2(y2x)2

uyuyuyayuxuy(y2x)(x2y)(2)(y2x)xy(y2x)(12)2(x2y)2当τ=1秒时，ax6(xy)，ay6(xy) 代入欧拉运动微分方程，得

ppax6(xy)，ay6(xy) xy则τ＝1s时位于(x，y)处的压力梯度为 gradpppij6(xy)i6(xy)j6(xy)(ij) xyτ＝1s时位于(1，2)点处的压力梯度为

gradp6(xy)(ij)9000(ij)N/m

33－15 已知不可压缩理想流体的速度场为uAxiAyj (m/s)，单位质量力为fgk m/s2，位于坐标原点的压力为p0，求压力分布式。 已0)p0 已知知：：uxAx，uyAy；fgk；p(0，解解析析：：由加速度计算式，得

uxuuuxxuyxA2xxyuyuyuy ayuxuyA2y

xyuuuazzuxzuyz0xyax代入由欧拉运动微分方程，得

pppaxA2x，ayA2y，(gaz)g xyz

dppppdxdydzA2xdxA2ydygdzxyz

1A2(x2y2)gzC 2A2(xdxydy)gdz积分上式，得 p当x=0，y=0，z=0时，p=p0，则C=p0。代入上式，得压力分布式为

pp01A2(x2y2)gz 23－16 已知不可压缩理想流体在水平圆环通道中作二维稳定流动，当圆周速度分别为

uθk；uθkr；uθk时，求压力p随uθ和r的变化关系式。 rk已已知知：：(1) uθk；(2) uθkr；(3) uθ；uruz0。 r解解析析：：根据已知条件，简化欧拉运动微分方程，

2urururuθ1purfruruθuzrrrzr fθ11fzuuuuupuθurθuθθuzθrθ rrrzruuupuzurzuθzuzzzrrz2uθ2uθ1pdr 可以得到  或写成 dprrr将已知条件代入上式，得

dr2 积分得 pklnrC1 r1222(2) uθkr时， dpkrdr 积分得 pkrC2

2k1222dr(3) uθ时， dpk3 积分得 pkrC3 r2r2(1) uθk时， dpk3－17 已知不可压缩理想流体的速度分量为uxay，uybx，uz0，不计质量力，求等压面方程。

已已知知：：uxay，uybx，uz0；f0。

解解析析：：由加速度计算式，得

uxuuuxxuyx00abxabxxyuyuyuy ayuxuy0aby0aby

xyuuuazzuxzuyz0xyax代入由欧拉运动微分方程，得

pppaxabx，ayaby，az0 xyzpppdxdydzabxdxabydyab(xdxydy) xyz则 dp在等压面上，dp0，则等压面微分方程为 (xdxydy)0 积分上式，得等压面方程 xyC

3－18 若在150mm直径管道内的截面平均流速为在200mm直径管道内的一半，问流过该两管道的流量之比为多少？

22已已知知：：d1=150mm，d2=200mm；u2=2u1。 解解析析：：根据流量计算式，可得

Q1A1u1du150219(1)2(1)()()0.28 Q2A2u2d2u22002323－19 蒸气管道的干管直径d1＝50mm，截面平均流速u1＝25m/s，密度ρ1＝2.62kg/m3，蒸气分别由两支管流出，支管直径d2＝45mm，d3＝40mm，出口处蒸气密度分别为ρ2＝2.24kg/m3，ρ3＝2.30kg/m3，求保证两支管质量流量相等的出口流速u2和u3。

已已知知：：d1=50mm，d2=45mm，d3=40mm，u1=25m/s， ρ1=2.62kg/m3，ρ2=2.24kg/m3，ρ3=2.30kg/m3，M2=M3。

解解析析：：根据已知条件列连续性方程，

111d121u1d222u2d323u3 ① 4441122 d22u2d33u3 ②

44

将②式代入①式，得

1u1d122u2d2 ③ 则 u2代入②式，得

u3(2211d1212.6250()()u1()()22518.05m/s 22d222.24452d222.2445)()u2()()218.0522.25m/s 3d32.30403－20 水射器如图所示，高速水流uj由喷嘴射出，带动管道内的水体。已知1截面管道内的水流速度和射流速度分别为u1＝3m/s和uj＝25m/s，管道和喷嘴的直径分别为0.3m和85mm，求截面2处的平均流速u2。

已已知知：：D=0.3m，d=85mm，u1=3m/s，uj=25m/s 解解析析：：列连续性方程，

111(D2d2)u1d2ujD2u2 444d2d0.08520.0852)]u1()2uj[1()]3()254.766m/s DD0.300.30y17)，r0为圆管半径，y为离管壁的距离，umaxr0则截面②处的平均流速为 u2[1(3－21 已知圆管中流速分布为uumax(为管轴处的最大流速，求流速等于截面平均流速的点离管壁的距离yc。

已已知知：：速度分布为 uumax(y17) r0解解析析：：截面平均流速为

1 ur02令 uumax(得 yc(r00yyy49u2rdr2umax()7(1)d()umax

0rr0r060011y1749)uumax r060497)r00.2423r0 603－22 管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D＝100mm和d＝30mm，如通过的流量为0.02m3/s，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。

已已知知：：D=100mm，d=30mm，Q=0.02m3/s，pm2=0。 解解析析：：由连续性方程，得 u14Q40.022.55m/s 22D3.140.14Q40.0228.31m/s d23.140.032 u2列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

pm11212u1u2 221212112pm1u2u1(u2u12)1000(28.3122.552)397476.8N/m22222

3－23 水管直径50mm，末端的阀门关闭时，压力表读数为21kN/m2，阀门打开后读数降至5.5kN/m2，如不计管中的压头损失，求通过的流量。

已已知知：：d=50mm，p0=21kN/m2，p=5.5kN/m2。 解解析析：：列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得 p0p则 u流量为 Q12u 22(p0p)2(215.5)1035.568m/s

10311d2u3.140.0525.5680.011m3/s 443－24 用水银压差计测量水管中的点速度u，如读数Δh＝60mm，求该点流速。 已已知知：：Δh=60mm。

解解析析：：根据题意，由流体静力学方程，得 p0p(汞)h(汞)gh 列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

p0p则 u12u 22(p0p)2(汞)gh2(13.61)9.811030.063.85m/s

1033－25 流量为0.06m3/s的水，流过如图所示的变直径管段，截面①处管径d1＝250mm，截面②处管径d2＝150mm，①、②两截面高差为2m，①截面压力p1＝120kN/m2，压头损失不计。试求：

(1)如水向下流动，②截面的压力及水银压差计的读数； (2)如水向上流动，②截面的压力及水银压差计的读数。

已已知知：：Q=0.06m3/s，d1=250mm，d2=150mm，H=2m，p1=120kN/m2。 解解析析：：(1) 由连续性方程，得 u14Q40.061.223m/s 22d13.140.254Q40.063.397m/s d223.140.152 u2(2) 列出①、②两截面间的伯努利方程，基准面取在②截面上；同时列出U型管的静力学方程，

2u12p2u2H 2g2gp1 (p1H)p2(汞)h

2u12u211p2p1H(1209.8121.22323.3972)1032g2g22得

134.6103N/m2134.6kN/m2p1p2H(120134.69.812)103 h0.0406m40.6mm

(汞)(13.61)9.81103(3) 如果水向上流动，并且不计压头损失，所得结果与上述相同。

3－26 风机进气管首端装有一流线形渐缩管，可用来测量通过的流量。这种渐缩管的局部损失可忽略不计，且气流在其末端可认为是均匀分布的。如装在渐缩管末端的测压计读数Δh＝25mm，空气的温度为20℃，风管直径为1.2m，求通过的流量。

已已知知：：Δh=25mm，d=1.2m，ρ=1.205kg/m3。 解解析析：：由流体静力学方程，得 pm水h 列渐缩管进口前后的伯努利方程，基准面取在管轴线上，得

0pm12u 2合并以上两式，得 u则流量为 Q2(pm)2水h298100.02520.176m/s

1.20511d2u1.2220.17622.81m3/s 443－27 水沿管线下流，若压力计的读数相同，求需要的小管直径d0，不计损失。

已已知知：：D=0.2m，u=3.0m/s，H=3m，p1=p2。

解解析析：：根据已知条件，列两截面间的连续性方程和伯努利方程，基准面取在下部截面上，

11D2ud02u0 441212 Huu0

22 联立以上两式，得

2u23 d0D40.240.12m 22gHu29.81332同时得到 u0(D20.22)u()38.33m/s d00.123－28 水由图中的喷口流出，喷口直径d＝75mm，不计损失，计算H值(以m计)和p值(以kN/m2计)。

已已知知：：d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，Δh=175mm，

解解析析：：(1) 列1-1截面至2-2截面间的伯努利方程，基准面取在2-2截面所在的水平面上，

p1gz11212 u1p2u222列1-1与2-2截面间U型管的静力学方程

p1g(z1z2)(p2gz2)(汞)gh

简化上式，并代入伯努利方程，得

12(u2u12)(汞)gh ① 2d11d12u1d22u2 或写成 u1u2(2)2 ②

d144列1-1截面至2-2截面间的连续性方程

将②式代入①式，整理后得

u2汞2g(－1)h1(d24)d129.81(13.61)0.1758.56m/s

0.141()0.125(2) 列2-2截面至3-3截面间的连续性方程

11d22u2d32u3 44d220.12)8.56()15.22m/s d30.075则 u3u2((3) 列自由液面至3-3截面间的伯努利方程，基准面取在出口管轴线上，得

2u315.22211.81m H2g29.81(4) 列压力表处至3-3截面间的伯努利方程，基准面取在出口管轴线上，得 pm所

1212u2u3 22以

pm1122(u3u2)1000(15.2228.562)79187.4N/m279.187kN/m2 223－29 水由管中铅直流出，求流量及测压计读数。水流无损失。 已已知知：：d=50mm，D=0.3m，δ=1mm，z1=3m，z2=1.5m。

解解析析：：(1) 列管嘴出口至圆盘边缘的伯努利方程和连续性方程，基准面取在盘面上， gz11212u1u2 22u1d212 du1Du2 或写成 u2

4D4代入伯努利方程，得

u12gz129.8134.20m/s 44d0.051116D22160.320.001211d2u13.140.0524.208.24103m3/s 44则 Q(2) 列管嘴出口至圆盘中心滞止点的伯努利方程，基准面取在盘面上，得 p0gz1121u110009.81310004.20238250N/m2 22列U型管的静力学方程， p0z2汞h

则 hp0z2汞3825098101.50.397m

13.698103－30 同一水箱经上、下两孔口出流，求证：在射流交点处，h1y1＝h2y2。 已已知知：：h1，h2，y1，y2。

解解析析：：列自由液面至两喷孔的伯努利方程，可得 u12gh1，u22gh2

x1x2

又知 x1u11，x2u22； y11212 g1，y2g222y112x12/2gh1h2则 22

y22x2/2gh2h1故有 h1y1h2y2，得证。

3－31 一压缩空气罐与文丘里式的引射管连接，d1,d2,h均为已知，问气罐压力p0多大方才能将B池水抽出。

已已知知：：d1，d2，h。

解解析析：：依题意，列吸水管的静力学方程，得 p1水h 列1、2两截面间的伯努利方程和连续性方程

p1

1212u1u2 22d11d12u1d22u2 或写成 u1u2(2)2

d144代入伯努利方程，得

水h12 u2d2(2)41d1列气罐至喷口的伯努利方程，得

水h12 p0u2

d242()1d1所以，气罐压力p0必须大于或等于水h/[(d24)1]才能将B池中的水抽出。 d13－32 高压水管末端的喷嘴如图，出口直径d＝10cm，管端直径D＝40cm，流量Q＝0.4m3/s，喷嘴和管道以法兰连接，共用12个螺栓，不计水和管嘴的重量，求每个螺栓受力多少？

已已知知：：D=40cm，d=10cm，Q=0.4m3/s，n=12。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得 u14Q40.44Q40.43.185m/s，u50.955m/s 22222D3.140.4d3.140.1(2) 列喷嘴进出口的伯努利方程

1212u1u2 2211222262得 pm1(u2u1)1000(50.9553.185)1.29310N/m

22 pm1(3) 设喷嘴对水流的反作用力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为流体的流动方向， pm1A1RxQ(u2u1)

Rxpm1A1Q(u2u1)

1.293106 3.140.4210000.4(50.9553.185)1.433105N4Rx1.43310511942N11.942kN 则每个螺栓受力为 Fn123－33 直径为d1＝700mm的管道在支承水平面上分支为d2＝500mm的两支管，A－A截面压力为70kN/m2，管道中水的体积流量为Q＝0.6m3/s，两支管流量相等。(1)不计压头损失，求支墩受水平推力；(2)压头损失为支管流速压头的5倍，求支墩受水平推力。不考虑螺栓连接的作用。

已已知知：：d1=700mm，d2=500mm，Q=0.6m3/s，pm1=70kN/m2 解解析析：：(1) 依题意知 Q211Q0.60.3m3/s，α=30°。 22u1

4Q40.61.56m/s，22d13.140.74Q240.31.53m/s22d23.140.5

u2(2) 列A-A至B-B及C-C间的伯努利方程

1212u1pm2u2 22112233222 pm2pm1(u1u2)701010(1.561.53)70046N/m

22 pm1(3) 取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体，设支墩对水流的水平反推力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为u1的方向，

pm1A12pm2A2cosRx2Q2u2cosQu1 那么，支墩所受的水平推力为

Rxpm1A12pm2A2cosQ(u2cosu1)

1(0.72700.5270.046cos302)103 41030.6(1.53cos301.56)3256.8N(4) 假若压头损失为支管流速压头的5倍，则A-A至B-B及C-C间的伯努利方程为

121212 u1pm2u25u2222112233222则 pm2pm1(u16u2)701010(1.5661.53)64194N/m

22 pm1(5) 取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体，设支墩对水流的水平反推力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为u1的方向，

pm1A12pm2A2cosRx2Q2u2cosQu1 那么，支墩所受的水平推力为

Rxpm1A12pm2A2cosQ(u2cosu1)

1(0.72700.5264.194cos302)103 41030.6(1.53cos301.56)5246N3－34 水流经180°弯管自喷嘴流出，如管径D＝100mm，喷嘴直径d＝25mm，管道前端测压表读数M＝196.5kN/m2，求法兰盘接头A处，上、下螺栓的受力情况。假定螺栓上下前后共安装四个，上下螺栓中心距离为175mm，弯管喷嘴和水重为150N，作用位置如图。

已已知知：：D=100mm，d=25mm，M=196.5kN/m2，W=150N，dn＝175mm。

解解析析：：取法兰盘A至喷嘴出口间的弯曲流段作为控制体，取喷嘴轴线所在水平面为基准面，建立坐标系如图所示。

(1) 列连续性方程

11dD2u1d2u2 或写成 u1()2u2 ① 44Dpm1(2) 列A至喷嘴出口间的伯努利方程

2u12u2z1 ② 2g2g将式①代入式②，得

2u2pd[1()4]m1z1 2gD2g(pm1/z1)29.81(196.5103/98100.3)所以 u220.01m/s 441(d/D)1(0.025/0.10)d20.0252)u2()20.011.25m/s D0.10112233 Qdu20.02520.019.81710m/s

44 u1((3) 设弯管对流体的反作用力为R，方向如图所示，列控制体的动量方程 Rpm1DQ(u2u1) 所以反推力为

1421Rpm1D2Q(u2u1)4

1196.51030.10210009.817103(20.011.25)1751.23N4(4) 流体对管壁的总推力由4个螺栓分担，但并非均匀分担。由于螺栓群所受的逆时针方向的力矩为

M0.3W0.3Qu20.3(WQu2)0.3(15010009.8171020.01)13.93NmR1751.23437.8N 443

所以，左右两个螺栓受力各为：

上螺栓受力为：

RM13.93437.8358.2N 4dn0.175RM13.93437.8517.4N 4dn0.175下螺栓受力为：

3－35 下部水箱重224N，其中盛水重897N，如果此箱放在秤台上，受如图的恒定水流作用。问秤的读数是多少？

已已知知：：d=0.2m，h0=1.8m，h=6.0m，G=897N，W=224N。 解解析析：：(1) 列两水池液面至管口的伯努利方程，基准面取在管口所在的水平面上，可得到管出口的流速为

u02gh029.811.85.94m/s

(2) 列上水池液面至下水池液面间的伯努利方程，基准面取在下水池液面上，可得到冲击下水池的流股的流速为

u2g(h0h)29.81(1.86.0)12.37m/s

(3) 取下池水体为控制体，并设池底对水体的反作用力为R，列动量方程，坐标系的方向垂直向下，得

R11d2u0(u0u)0.221035.94(5.9412.37)1199N 44所以 R1199N

则下水箱的总重量为 W0RGW11998972242320N

3－36 求水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力。假定A、B两截面间水重为2.69kN，而且截面B流出的流动可以认为是自由射流。

已已知知：：h0=2.1m，hA=0.6m，hB=0.9m，B=1.0m，W=2690N。 解解析析：：(1) 取上部流线为对象，列水池截面至A截面的伯努利方程，基准面取在池底所在的水平面上，

2uA得 h0hA

2g则A截面的平均速度为

uA2g(h0hA)29.81(2.10.6)5.425m/s 列A、B两截面间的伯努利方程，取中间流线为对象，得

22uAuB1hB hA

22g2g则B截面的平均速度为 uB1122g(hAhB)uA29.81(0.60.9)5.42524.202m/s

22(2) 由A、B之间的连续性方程 aBuAbBuB，得挑流坎出口流股的宽度b为 ba(uA5.425)0.6()0.775m uB4.202那么，A、B上的总压力分别为 PA112BhA98101.00.621765.8N 221Bb211.00.775298104166.4N PB2cos2cos45(3) 设挑流坎AB作用于水流的水平分力和铅直分力分别为Rx和Ry，列A、B间的动量方程

PAPBcosRxQ(uBcosuA)RyPBsinGQuBsinRxPAPBcosQ(uBcosuA)

1765.84166.4cos4510000.65.425(4.202cos455.425) 6806.6N

RyPBsinGQuBsin4166.4sin45269010000.65.4254.202sin4515307.5N

所以，水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力分别为6806.6N和15307.5N。

3－37 水流垂直于纸面的宽度为1.2m，求它对建筑物的水平作用力。 已已知知：：h1=1.5m，h2=0.9m，B=1.2m。

解解析析：：(1) 取上部流线，列建筑物上下游两流动截面间的伯努利方程和连续性方程，基准面取在底面上，

2u12u2h2 h1 2g2g u1h1Bu2h2B 或写成 u1u2(代入伯努利方程，得

u2h2) h12g(h1h2)29.81(1.50.9)4.289m/s

h220.921()1()1.5h1h20.9)4.289()2.573m/s h11.53 u1u2( Qu2h2B4.2890.91.24.632m/s (2) 建筑物上下游两流动截面上的总压力分别为

121h1B98101.521.213243.5N 221212 P2p2A2h2B98100.91.24767.7N

22 P1p1A1(3) 设建筑物对水流的反作用力为R，列建筑物上下游两流动截面间的动量方程，坐标系的方向为流体的流动方向，得

P1P2RQ(u2u1) 所以，水流对建筑物的水平作用力为

RP1P2Q(u2u1)13243.54767.710004.632(4.2892.573)527.3N

3－38 有一圆柱体放在两无限宽的平行平板中间，平板间距B为1m，圆柱体前水流为均匀分布，流速u1＝5m/s，流过圆柱体后，流速近似三角形分布，求单位长度圆柱体对水流的阻力。平板对水流的摩擦阻力不计。

已已知知：：u1=5m/s，B=1m。

解解析析：：(1) 选取圆柱体前后两截面间的空间为控制体，建立坐标系，并假定物体对水流

的阻力为F，方向如图，摩擦阻力不计。上游截面上的速度为均匀分布，u1＝5m/s；设下游截面上的速度分布为u2=ay＋b，a、b为待定系数，由边界条件和连续性条件确定。当y=0时，u2=0，得b=0；列上下游两截面间的连续性方程

u1B2得 aB201aydyaB2

44u14520 B1所以 u220y

列x方向上的动量方程(圆柱体为单位长度)，

F(A22u2dyu12B)

2所以 F(u1B2A22u2dy)[u12B2(20y)2dy]

020.5 1000(51.02200.5)8333N

这里说明，在题设的理想条件下，圆柱体对流体不会产生阻力，而且阻力为负。

3－39 理想流体平面射流以θ角冲击在无限宽(垂直纸面方向)的平板上，如射流的单宽流量为q0，速度为u0，遇平板后两侧的单宽流量为q1和q2，求：(1)用θ函数表示的q1/q2；(2)射流对单宽平板的作用力。

已已知知：：θ、u0、q1、q2、q0。

解解析析：：(1) 建立坐标系如图，取冲击流股为控制体，设平板对射流流体的反作用力为T，列0-1和0-2间的伯努利方程，忽略重力，并注意到 p1=p2=p0=pa，得

22u0u12u2 或写成 u0u1u2 222133(2) 对控制体列x方向的动量方程，得 0q1u1q2u2q0u0cos

或者 q1q2q0cos ① 由连续性方程可知，q2q0q1 ② 代入①式，整理后得 q1代入②式得 q2所以

1cosq0 21cosq0 2q11cos q21cos(3) 对控制体列y方向的动量方程，得

Tq0u0sin

则射流对单宽平板的作用力为Tq0u0sin。

3－40 直径为10cm、速度为20m/s的水射流垂直冲击在一块圆形平板上，不计阻力，问：

(1)平板不动时，射流对平板的冲击力为多大？

(2)如平板以速度5m/s向左运动，射流对平板的冲击力为多少？水流离开平板时，其流速的大小和方向是什么？

已已知知：：d0=10cm，u0=20m/s；U=5m/s。

解解析析：：(1) 平板不动时，取平板前的水射流为控制体，坐标x的方向与射流速度u同向，设平板对射流的反作用力为T，重力不计，对控制体列x方向的动量方程，得

Tu0A0213.140.1210002023140N 4所以，平板不动时，射流对平板的冲击力为3140N。

(2) 当平板以速度5m/s向左运动时，射流与平板之间的相对速度为u0+U，列x方向的动量方程，得

T(u0U)A0213.140.121000(205)24906N 4所以，当平板以速度5m/s向左运动，射流对平板的冲击力为4906N。

列射流出口至板缘间的伯努利方程，并注意到 p= pa，相对速度u=u0+U，得

2(u0U)2u2 22则 u2u0U20525m/s

则水流离开平板时，其流速的大小为25m/s，方向平行于板面，沿径向流出。

3－41 有一直径由20cm变至15cm的90°变径弯头，其后端连一出口直径为12cm的喷嘴，水由喷嘴射出的速度为20m/s，求弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV。不计弯头内的水体重量。

已已知知：：d1=20cm，d2=15cm，d3=12cm，u3=20m/s。

解解析析：：(1) 建立坐标系如图，取弯头内的水体为控制体，设弯头对水体的反作用力为F，其水平分力和垂直分力分别为FH和FV，重力不计。列连续性方程，

111d12u1d22u2d32u3 444d320.122)20()7.2m/s d10.20得 u1u3( u2u3(d320.122)20()12.8m/s d20.15(2) 分别列出1-3和2-3间的伯努利方程，注意到pm3＝0。

12121212u1u3； pm2u2u3 22221122222所以 pm1(u3u1)1000(207.2)174080N/m

221122222 pm2(u3u2)1000(2012.8)118080N/m

22 pm1(3) 对控制体列x方向和y方向的动量方程，得

22 FHpm2A2u2A2； pm1A1FVu1A1

所以 FHpm2A2u2A23.140.15(118080100012.8)4979N

12241222 FVpm1A1u1A13.140.20(17408010007.2)7094N

42弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV分别为4979N和7094N。

3－42 图示为一矩形容器，水由①、②两管流入，由③管流出，①、②、③管的直径分别为20cm、20cm和25cm，①、②两管的流量同为0.2m3/s，管口相对压力皆为32kN/m2，③管出口为大气压，倾角θ为30°。三根短管都位于同一水平面上，如容器仅由A点支撑，求xoy平面上作用于A点的力和力矩。

已已知知：：d1=d2=20cm，d3=25cm，Q1=Q2=0.2m3/s，Q3=2Q1。 pm1=pm2=32kN/m2，pm3=0，θ=30°，其它尺寸如图。 解解析析：：(1) 由连续性方程，得 u1u24Q140.26.37m/s d123.140.22 u34Q340.228.15m/s 22d33.140.25(2) 取容器内的水体为控制体，建立坐标系如图所示，设A点所受的力为F，其分量分别为Fx和Fy，对控制体列动量方程，得

Fxpm2A2Q3u3cosQ2u2 Fypm1A1Q3u3sinQ1u1

Fxpm2A2Q3u3cosQ2u2

(321035102N3.140.2210000.228.15cos3010000.26.37) 4Fypm1A1Q3u3sinQ1u1

32103648.8N3.140.2210000.228.15sin3010000.26.37 4 FFx2Fy2(5102)2648.825143N

(3) 对A点列动量矩方程，得

MFrQ3u3sinx3Q3u3cosy3Q1u1x1Q2u2y2

10000.2[28.15(3sin305cos30)6.37(22.5)] 14959Nm14.96kNm3－43 如图所示的盛水容器，已知H＝6m，喷口直径d＝100mm，不计阻力，求： (1) 容器不动时，水流作用在容器上的推力；

(2) 容器以2m/s的速度向左运动，水流作用在容器上的推力。 已已知知：：H=6m，d=100mm；U=2m/s。

解解析析：：(1) 列容器液面至喷嘴出口的伯努利方程，可得喷口速度为 u2gH29.81610.85m/s 流量为 Q11d2u3.140.1210.850.0852m3/s 44取容器中的水体为控制体，坐标系建在容器上，方向向左，设容器对水流的反作用力为F，列动量方程，得

FQu10000.085210.85924N 则水流作用在容器上的推力为924N。

(2) 当容器以2m/s的速度向左运动时，其相对速度为uU，列动量方程，得 FQ(uU)10000.0852(10.852)754N 所以，水流作用在容器上的推力为754N。

3－44 水射流由直径d＝6cm的喷嘴垂直向上喷射，离开喷口的速度为15m/s，若能支撑一块重100N的平板，射流喷射的高度Z为多少？

已已知知：：d=6cm，u1=15m/s，W=100N。 解解析析：：(1) Q11d2u13.140.0621542.39103m3/s 44取管嘴出口至平板间的水体为分析对象，建立坐标系，方向垂直向上，设射流冲击平板时的速度为u2，根据动量方程

WQ(0u2) 则 u2W1002.36m/s 3Q100042.3910(2) 列管嘴出口至平板间的伯努利方程，得

2u12u2z

2g2g2u12u21522.36211.2m 所以 z2g29.813－45 喷嘴直径25mm，每个喷嘴流量为7L/s，若涡轮以100r/min旋转，计算它的功率。 已已知知：：d=25mm，R=0.6m，Q=7×10-3m3/s，n=100r/min。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得喷嘴出流速度为

4Q47103 u14.27m/s 22d3.140.025喷嘴自身的旋转速度为

u0R2n23.14100R0.66.28m/s 6060所以，单个喷嘴的射流反作用力为 FQu 那么，射流的总功率为

3 N4Fu04Quu04100071014.276.282509W2.51kW

3－46 臂长皆为10cm的双臂喷水装置，喷水口直径为1cm，在3cm直径的中心供水管内水流速度为7m/s，求：

(1)转臂不动时需施加的力矩；

(2)使转臂以150r/min的转速反时针方向旋转需施加的力矩。

已已知知：：d=1cm，D=3cm，u0=7m/s，R=10cm；ω=150r/min，q=0.5Q。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得 Q11D2u03.140.03274.946103m3/s 444q40.54.946103喷嘴出口流速为 u31.5m/s 22d3.140.01那么，根据动量方程，转臂不动时所需施加的力矩为

M2quRQuR10004.94610331.50.115.58Nm

(2) 当转臂以150r/min的转速逆时针方向旋转时，转臂的旋转速度为

2nR23.141500.11.57m/s 6060那么，射流的绝对速度为uU，这是需要施加的力矩为

UR MQ(uU)R10004.946103(31.51.57)0.116.36Nm

3－47 有一向后喷射水流作为动力的机动船逆水航行，河水流速为1.5m/s，相对于河岸的船速为9m/s，船尾喷口处相对于船体的流速为18m/s，流量为0.15m3/s，求射流对船体的推力。

已已知知：：u0=1.5m/s，u1=9m/s，u2=18m/s，Q=0.15m3/s。 解解析析：：根据题意知，河水相对于船体的速度为

u0u1，而喷射流体相对于船体的速度为u2，设射流

对船体的推力为F，列动量方程，得

FQ(u2u0u1)10000.15(181.59)1125N

3－48 装在小车上的水箱侧壁有一流线型喷嘴，直径为20mm，已知h1＝1m，h2＝2m，射流恰好平顺地沿小坎转向水平方向离开小车。求：(1)射流对水箱的水平推力；(2)射流对小车的水平推力；(3)射流对小坎的水平推力。

已已知知：：d=20mm，h1=1m，h2=2m。

解解析析：：(1) 设喷嘴出口流速为u1，小坎出口出的流速为u2，分别列出水箱自由液面至喷嘴出口及小坎出口的伯努利方程，可得

u12gh129.811.04.43m/s

u22g(h1h2)29.81(1.02.0)7.67m/s

11Qd2u13.140.0224.431.39103m3/s

44(2) 设射流对水箱的水平推力为F1；射流对小车的水平推力为F2；射流对小坎的水平推力为F。那么，根据动量方程，得

F1Qu110001.391034.436.16N 7.6710.66N

F2Qu210001.39103 FF2F110.666.164.5N

第四章 流体的有旋流动和无旋流动

4－1 下列流场是否连续？是否无旋？若为无旋流动，试描述其流动情景： (1) ux4y，uy3x； (2) ux4xy，uy0； (3) ur，uθ0；

cr(4) ur0，uθc。 ruuuuxuy0或rrθ0，判

rrrxy已已知知：：流场的速度分布。

解解析析：：① 根据不可压缩流体的连续性方程断流场是否连续；

1uyux② 根据流体微团的角速度计算公式z()或

2xyz(1uθuθur)，计算出流体微团的各角速度分量，以此来判断流场是否无旋； 2rrr③ 根据流函数的微分式duydxuxdy或duθdrurrd求出流线方程，依此绘出流线图形，来描绘流场的流动情景。

uxuy(1) 000，该流场是连续的；

xy

z(1uyux11)(34)3，该流场为有旋流场。

2xy22uxuy(2) 4y00，该流场不连续；

xy

z(1uyux1)(04x)2x，该流场为有旋流场。

2xy2(3)

ururuθcc2200，该流场是连续的； rrrrr1uθuθur1()(000)0，该流场为无旋流场。 2rrr2 z将速度分量代入流函数微分式，得

duθdrurrd0积分得 cC

令＝常数，得流线方程为C。可见，流线为从原点发出的射线族。

crdcd r(4)

ururuθ0000，该流场是连续的； rrr z1uθuθur1cc()(220)0，该流场为无旋流场。 2rrr2rr将速度分量代入流函数微分式，得

duθdrurrddr0c积分得 clnrC

令＝常数，得流线方程为rC。可见，流线为同心圆周线族。

4－2 下列两个流动哪个有旋？哪个无旋？哪个有角变形？哪个无角变形？式中a、c为常数。

(1) uxay，uyax，uz0 (2) uxcrdr rcycx，u，uz0 y2222xyxy已已知知：：流场的速度分布。 解解析析：：(1)

1uyux1z()(aa)a，该流动有旋；

2xy2

z(1uyux1)(aa)0，该流动无角变形。

2xy21uyux1c(y2x2)c(x2y2)(2) z()[22]0，该流动无旋； 22222xy2(xy)(xy)1uyux1c(y2x2)c(x2y2)c(x2y2) z(，该流动有角变)[22]22222222xy2(xy)(xy)(xy)形。

4－3 证明下列二维流场是无旋的，并找出经过(1，2)点的流线方程。 uxxyx，uy(2xyy)

22已已知知：：uxxyx，uy(2xyy)

22解解析析：：(1)

z(1uyux1)(2y2y)0，所以，该二维流场是无旋的；

2xy222(2) 将速度分量 uxxyx，uy(2xyy)代入流函数的微分式， duydxuxdy(2xyy)dx(xyx)dy

22积分得 xyxy213yC 3213yC 34将x＝1，y＝2代入流线方程，得C，则过(1，2)点的流线方程为

31342 xyxyy

33令 C，得流线方程 xyxyuy2z3x，uz2x3y，求旋4－4 已知有旋流动的速度分量为 ux2y3z，转角速度和角变形速度。

已已知知：：ux2y3z，uy2z3x，uz2x3y 解解析析：：(1) 流体微团的旋转角速度为

x(1uzuy11)(32)；

2yz221uxuz11()(32) 2zx22 y

1uyux11z()(32)；

2xy22222 xyz(2) 流体微团的角变形速度为

3 21uzuy15 x()(32)；

2yz22 y1uxuz11()(32)； 2zx221uyux11 z()(32)；

2xy22 xyz22253 2uykx，uz4－5 设流场的速度分布为 uxky，(z)2k2(x2y2)

式中(z)是z的任意函数，k为常数。试证明这是一个流线与涡线相重合的螺旋流动，并计算旋转角速度与速度u的绝对值的比值ω/u。

已已知知：：uxky，uykx，uz解解析析：：(1) 流体微团的旋转角速度为

(z)2k2(x2y2)

1uzuy12k2yk2y x( )(0)2222yz2(z)2k2(x2y2)(z)2k(xy)1uxuz12k2xk2x y( )(0)2222222zx2(z)2k(xy)(z)2k(xy)

z(1uyux1)(kk)k

2xy22x2y2z 流体微团的运动速度为

k(z)k2(x2y2)(z)2k(xy)222

uuxuyuz(z)k(xy) 则

222222uk(z)2k(xy)222

(2) 将速度分量和角速度分量分别代入流线微分方程和涡线微分方程，整理后分别为

  222(z)2k(xy)dykxdz0  222(z)2k(xy)dykxdz0比较以上两式可知，流线微分方程和涡线微分方程完全相同，即流线与涡线相重合。积分上式可得到流线方程和涡线方程。

第一分式的积分结果为 xyC1 ① 将第二分式两边同乘以y，并令 (z)2k(xy)P，则有dP4kydy或写成ydy222222xdxydy0xdxydy0dP，代入第二分式，得 24k1PdPkxydz0 24k 沿积分路线积分上式，并注意到y和z为自变量，可得到

1 P3C226k1 [(z)2k2(x2y2)]3C2改写为 26k或写成

[(z)2k2(x2y2)]3C2 ②

将①、②式联立，即得到流线方程及涡线方程，即

  2223[(z)2k(xy)]C2它们是相互重合的螺旋线。

4－6 已知圆管中层流流动过流截面上的速度分布为

x2y2C1uxJ22(r0r)，uyuz0，式中γ、J、μ、r0皆为常数，r2y2z2，求涡线方程。 4已已知知：：uxJ22(r0r)，uyuz0；r2y2z2。 4解解析析：：根据已知条件，求出角速度分量为

x(1uzuy1)(00)0；

2yz2 y1uxuz1JJ()(z0)z 2zx224

z(1uyux1JJ)(0)y

2xy224dxdydz，得

代入涡线微分方程

xyz

dx0

ydyzdz0积分上式，得涡线方程为

xC1 22yzC24－7 设速度场为 u(y2z)i(z2x)j(x2y)k，求涡线方程。若涡管截面

面积dA＝104m2，求旋涡强度。

－

已已知知：：u(y2z)i(z2x)j(x2y)k；dA＝104m2。

－

解解析析：：(1) uxy2z，uyz2x，uzx2y

x(u1u111uzuy11)(21)； y(xz)(21)

2zx222yz2231uyux1122yz2 z( )(21)； x22xy22代入涡线微分方程

dxxdyydzz，积分得涡线方程为

xyC1 

yzC2(2) 微元涡管dA上的旋涡强度为 dI2dA231041.732104m2/s 24－8 设在半径R＝0.5m的圆周上，平面流动的切向速度分别为(1)uθ2m/s；(2)uθ2u0sin；(3)uθcr。式中u0、c为常数，其中c＝10 l/s。求以上三种情况沿圆周的速度环量。

已已知知：：R＝0.5m，(1)uθ2m/s；(2)uθ2u0sin；(3)uθcr，c＝10 l/s。 解解析析：：(1) (2) (3)

udsuθrd2Rd4R2m2/s

udsuθrd2u0Rsind0

udsuθrdcR2d2cR25m2/s

4－9 有一平面势流，其速度势为K，式中K为常数，θ为极角，试求： (1)沿圆周x2＋y2＝R2的速度环量；

(2)沿圆周(x－a)2＋y2＝R2的速度环量(R＜a)。

已已知知：：K。(1) x2＋y2＝R2；(2) (x－a)2＋y2＝R2 (R＜a)。 解解析析：：根据速度势函数K，求得切向速度分量为 uθ(1) udsuθrdK，那么， rrKrrd2K

(2) 由于R＜a，所以圆周(x－a)2＋y2＝R2所包围的区域全部为势流区，根据斯托克斯定理，沿圆周(x－a)2＋y2＝R2的速度环量为零。

4－10 设在(1，0)点置有Γ＝Γ0的旋涡，在(－1，0)点置有Γ＝－Γ0的旋涡。试求沿下列路线的速度环量。

(1) x2＋y2＝4； (2)(x－1)2＋y2＝1；

(3) x＝±2，y＝±2的正方形； (4) x＝±0.5，y＝±0.5的正方形。

已已知知：：(1，0)点Γ＝Γ0，(－1，0)点Γ＝－Γ0；以及各积分路线。

解解析析：：(1) 根据斯托克斯定理，x2＋y2＝4的圆周内包含有Γ0和－Γ0两个旋涡，正负抵消，所以沿该圆周线的速度环量为零。

(2) 根据斯托克斯定理，(x－1)2＋y2＝1的圆周内包含有一个Γ0的旋涡，所以沿该圆周线的速度环量为Γ0。

(3) 根据斯托克斯定理，x＝±2，y＝±2的正方形内包含有Γ0和－Γ0两个旋涡，正负抵消，所以沿该正方形边界线的速度环量为零。

(4) 根据斯托克斯定理，x＝±0.5，y＝±0.5的正方形内不包含任何旋涡，全部为无旋区，所以沿该正方形边界线的速度环量为零。

4－11 已知平面势流的流函数5xy4x3y10，求流速分量和速度势函数。又知流体的密度为850kg/m3，滞点处的压力为105N/m2，求(1，2)点处流体的速度和压力。

已已知知：：5xy4x3y10；ρ＝850kg/m3，p0＝105N/m2。 解解析析：：(1) 流速分量为 ux代入速度势函数的微分式，得

duxdxuydy(5x3)dx(5y4)dy 积分上式，得速度势函数为

5x3，uy5y4 yxx23xy24yC(x2y2)(3x4y)C

525252(2) (1，2)点的速度为

ux5x38m/s，uy5y46m/s uuxuy8(6)10m/s 列(1，2)点与滞止点之间的伯努利方程，得

222212up0 21215222所以 pp0u108501057500N/m57.5kN/m

224－12 已知势函数xy，求流函数，并描绘流场的大致情景。

p已已知知：：xy。

解解析析：：流场的速度分量为 ux代入流函数的微分式，得

duydxuxdyxdxydy

y，uyx xy积分上式，得流函数为

12(xy2)C 222令＝常数，得流线方程为(xy)C，即流线图形为双曲线。

4－13 试证明速度分量为ux2xyx，uyx2y2y的平面流动为势流。求流函数和势函数。

已已知知：：ux2xyx，uyx2y2y。 解解析析：：(1) 因为

z(1uyux1)(2x2x)0，所以该流动为势流流动。

2xy2(2) 将速度分量分别代入流函数和速度势函数的微分式，得 duydxuxdy(x2y2y)dx(2xyx)dy duxdxuydy(2xyx)dx(x2y2y)dy 积分以上两式，得流函数和速度势函数为

13xxy2xyC1 31213122 xyxyyC2

232 4－14 已知平面流动的流函数3xyy，求势函数，并证明流速与距坐标原点的距离的平方成正比。

23已已知知：：3xyy。

23解解析析：：(1) 速度分量为 ux22223(x2y2)，uy6xy yx222222流速为 uuxuy3(xy)(6xy)3(xy)3r 即流速与距坐标原点的距离的平方成正比。

(2) 将速度分量代入速度势函数的微分式，得 duxdxuydy(3x3y)dx6xydy 积分上式，得速度势函数为

32 x3xyC

224－15 不可压缩理想流体平面势流的速度势为ax(x3y)，a＜0，试求其流速及流函数，并求通过连接(0，0)及(1，1)两点的直线段的流体流量。

2222已已知知：：ax(x3y)，a＜0。

解解析析：：(1) 速度分量为 ux2223a(x2y2)，uy6axy xy222222流速为 uuxuy(3a)(xy)(6axy)3a(xy) 将速度分量代入流函数的微分式，得

duydxuxdy6axydx3a(x2y2)dy 积分得 3axyayC

(2) 令积分常数等于零，则(0，0)0，(1，1)2a，那么，通过连接(0，0)及(1，1)两点的直线段的流体流量为

Q(1，1)(0，0)2a

4－16 强度为24m2/s的源位于坐标原点，与速度为10m/s且平行于x轴，方向自左向右的均匀流动叠合。求：(1)叠加后驻点的位置；(2)通过驻点的流线方程；(3)此流线在θ＝和θ＝0时距x轴的距离；(4)θ＝

232时，该流线上的流速。 2已已知知：：Q＝24m2/s，u0＝10m/s。

解解析析：：已知平行于x轴的均匀流的流函数为 1u0yu0rsin 位于坐标原点的源流的流函数为

2Q1yQtg 2x2则两者叠加后的流函数为

12u0y令＝常数，得流线方程为

u0yQ1yQtgu0rsin 2x2Q1yQtgC 或 u0rsinC 2x2Quucos0rr2r uusinθ0r流场的速度分布为

Qxuu0xy2x2y2  或

yuQyx2x2y2(1) 令ux0，uy0，或ur0，uθ0，得驻点位置为

xQQ，y0 或 r， 2u02u0将Q＝24m3/s·m，u0＝10m/s，代入上式，得驻点位置为(－0.382，0)或(0.382，π)。

(2) 将驻点坐标（为

QQ，）代入流线方程，得C，于是，通过驻点的流线方程2u02Q1yQQQtg 或 u0rsin 2x2221y即 10y3.82tg12 或 10rsin3.8212 x u0y(3) 根据通过驻点的流线方程，可得 yrsinQ()，则 2u0当2时，yQ240.6m； 4u0410当0时，yQ241.2m 2u0210(4) 由通过驻点的流线方程可知，当得

uxu010m/s，uy或 ur2时，x0，yrQ，代入速度分布式，4u02u021020m/s ππ2u021020m/s，uθ10m/s ππ2222则 uuxuyuruθ1042111.86m/s

4－17 一源和汇均在x轴上，源在坐标原点左边1m处，汇在坐标原点右边1m处，源和汇的强度均为20m2/s。求坐标原点处的速度。计算通过点(0，4)的流线的ψ值和该点的速度。

已已知知：：Q＝20m2/s。

Q1y10ytgtg1 2x1x1Q1y10ytgtg1对于点汇 2 2x1x1解解析析：：对于点源 1于是，组合流场的流函数为

1210(tg1yytg1) x1x1组合流动的速度分量为

10x1x1[]y(x1)2y2(x1)2y2 

10yyuy[]2222x(x1)y(x1)yux(1) 将x＝y＝0代入上式，得坐标原点处的速度为 ux1206.37m/s，uy10

(2) 将x＝0，y＝4代入上式，得(0，4)点处的速度为 ux2200.37m/s，uy20 17(tg1yytg1)483.8m2/s x1x1(3) 将x＝0，y＝4代入组合流场的流函数式，得(0，4)点处的流函数值为 104－18 一平面势流由点源和点汇合成，点源位于(－1，0)，强度为20m2/s，点汇位于(2，0)，强度为40m2/s，流体密度为1.8kg/m3，设(0，0)点的压力为零，求(0，1)和(1，1)点的流速和压力。

已已知知：：Q1＝20m2/s，Q2＝40m2/s，ρ＝1.8kg/m3，p0，0＝0。

Q11y10y tgtg12x1x1Q1y20y对于点汇 22tg tg12x2x2解解析析：：对于点源 1于是，组合流场的流函数为

12组合流动的速度分量为

10(tg1yy2tg1) x1x210x12(x2)[]y(x1)2y2(x2)2y2 

10y2yuy[]2222x(x1)y(x2)yux(1) 将x＝0，y＝1代入上式，得(0，1)点处的速度为 ux110131014.14m/s，uy10.32m/s 101022则 u0，1ux1uy14.1420.3224.15m/s

(2) 将x＝1，y＝1代入上式，得(1，1)点处的速度为 ux210141084.46m/s，uy2()2.55m/s 101022则 u1，1ux2uy24.4622.5525.14m/s

(3) 将x＝0，y＝0代入上式，得(0，0)点处的速度为 ux01026.37m/s，uy00

22则 u0，0ux0uy06.37m/s 因为流场为有势流动，利用伯努利方程，得

1212u0，pu0，00，11 221212 p0，upu1，00，01，11

221122222所以 p0,1p0,0(u0,0u0,1)1.8(6.374.15)21.02N/m

221122222 p1,1p0,0(u0,0u1,1)1.8(6.375.14)12.74N/m

22 p0，04－19 强度为2π m3/s·m的点源和点汇分别位于(－2，0)点和(2，0)点处，与速度为4.0m/s沿x轴正向的均匀直线流叠加成一个新的流动。试求：(1)两个驻点的位置及其之间的距离；(2)经过驻点的流线方程；(3)上游无限远处与(－1，1)点之间的压头差。

已已知知：：Q＝2π m3/s·m，u∞＝4.0m/s。

解解析析：：(1) 求两个驻点的位置及其之间的距离

QQ1yy tgtg122x2x2QQyy对于点汇 2 tg1tg122x2x2对于点源 1对于均匀直线流 3uy4y 于是，组合流场的流函数为

123tg组合流动的速度分量为

ux1yytg14y x2x2x2x24 2222y(x2)y(x2)yyy x(x2)2y2(x2)2y2 uy由已知条件可知，两驻点均在x轴上，即y＝0，这时uy＝0，由ux＝0得

1140 x2x2解此方程得 x5

即 x152.236m； x252.236m

故两驻点的位置分别为(－2.236，0)和(2.236，0)。它们之间的距离为

L|x1||x2|22.2364.472m (2) 求经过驻点的流线方程 令 tg1yytg14yC x2x2将驻点坐标代入上述流线表达式，得C＝0，则经过驻点的流线方程为

tg1yytg14y0 x2x2(3) 求上游无穷远处到(－1，1)点间水流的压头差 点(－1，1)处流体的速度为

ux131144.8m/s； uy0.4m/s 21021022 uuxuy4.820.424.817m/s

因为是有势流动，利用伯努利方程，得

p121upu2 221212(uu)(4.81724.02)0.367m 2g29.81上游无限远处与(－1，1)点之间的压头差为

pp4－20 为了在(0，5)点产生数值为10m/s的流速，问位于坐标原点的偶极强度M应为多大？并求通过(0，5)点的流函数值。

已已知知：：u(0，5)＝10m/s。

解解析析：：该偶极流为同强度的点源与点汇叠加而成，其流函数及速度分布式分别为 My

2x2y222 uuxuyM

2(x2y2)将(0，5)点坐标代入上述速度分布式，可得

M2u(xy)210(05)500m/s 将(0，5)点坐标代入上述流函数式，可得

22235) (0，5005250m/s 22054－21 均匀直线流的流速为u0，位于坐标原点的偶极强度为M，这两种流动叠加后，流速值与u0相等的点位于哪一条曲线上？

已已知知：： u0，M。

解解析析：：该流场为均匀直线流与偶极流叠加而成，叠加后的流函数及速度分布式分别为

r02r02)u0(12)rsin u0y(12xy2rr021uru0(12)cosrr  2ruθu0(102)sinrrrr2uur2uθu0[1(0)2]2cos2[1(0)2]2sin2rrrr1(0)42(0)2cos2rr

为了简化计算，以上各式中令r0M。 2u0将uu0代入上述速度分布式，简化后得

r0r0 2cos2 或写成 rr2cos2将r0M代入上式，得流速值与u0相等的点所在的条曲线为 2u01M

2u0cos2 r4－22 一长圆柱体的直径为1.0m，位于u0＝10m/s的正交于柱轴的直线流中，流体的密度为1000kg/m3，未扰动流体的压力为0，求在圆柱面上θ＝π/2、5π/8、6π/8、7π/8和π处的流速值和压力值。

已已知知：：d0＝1.0m，u0＝10m/s，ρ＝1000kg/m3，p0＝0。

解解析析：：该绕流流场可由均匀直线流与偶极流叠加而成，叠加后圆柱面上的速度分布和压力分布由式(4－70)和式(4－71)表述，即

ur0，uθ2u0sin pp0当12u0(14sin2) 22时， u()2u0sin210sin2220.0m/s

1103102(14sin2)150.0kPa

222555当时，u()2u0sin210sin18.48m/s

888 p()515)103102(14sin2)120.71kPa 828666当时，u()2u0sin210sin14.14m/s

888616 p()103102(14sin2)50.0kPa

828777当时，u()2u0sin210sin7.65m/s

888717 p()103102(14sin2)20.71kPa

828 p(当时， u()2u0sin210sin0 p()1103102(14sin2)50.0kPa 24－23 风速为u0＝48km/h的水平风吹向一高度为h＝300m型如流线的山坡，试用适当的流函数和势函数描述此流动。

已已知知：：u0＝48km/h，h＝300m。 解解析析：：已知水平风速为 u0480004013.33m/s 36003选择均匀直线流与源流进行叠加，二者的流函数和速度势函数分别为

1u0yu0rsin 1u0xu0rcos 2Q1yQQQtg 2lnx2y2lnr 2x222叠加后的流函数和速度势函数分别为

12u0yQ1yQtgu0rsin ① 2x2QQ 12u0xlnx2y2u0rcoslnr ②

22Q1yQtgC 或 u0rsinC 2x2Quucos0rr2r uu0sinθr令＝常数，得流线方程为

u0y流场的速度分布为

Qxuu0xy2x2y2  或

Qyuyx2x2y2令 ux0，uy0，或ur0，uθ0，得驻点位置为

xQQ，y0 或 r， 2u02u0将驻点坐标（

QQ，）代入流线方程，得C，于是，通过驻点的流线方程为 2u02 u0yQ1yQQQtg 或 u0rsin 2x222Q()，那么 2u0根据过驻点的流线方程，可得 yrsin当0时，yH300m，代入上式得流量为

481033008000m3/s Q2u0H23600将u0和Q分别代入①式和②式，得流函数和速度势函数分别为

13.33y1274tg

1y13.33rsin1274 x13.33x1274lnx2y213.33rcos1274lnr

4－24 已知水平直线流的流速为5.0m/s，位于y轴上(0，2)和(0，－2)点的点源强度均为20π m3/s·m，求叠加流动的驻点位置、轮廓线方程，并描述其大致流动情景。

已已知知：：Q＝20π m3/s·m，u∞＝5.0m/s。 解解析析：：(1) 求驻点的位置

Q1y2y2 tg10tg12xxQ1y2y2对于点(0，－2)处的点源 1 tg10tg12xx对于点(0，2)处的点源 1对于均匀直线流 3uy5y 于是，组合流场的流函数为

12310(tg组合流动的速度分量为

ux1y2y2tg1)5y xxxx10[2]5 222yx(y2)x(y2)y2y210[2] xx(y2)2x2(y2)2 uy由上式可知，当y＝0时，uy＝0，说明驻点在x轴上，由ux＝0，得

20x50 或写成 x24x40 2x4解此方程得 x2m。即驻点的位置为(－2，0)。

(2) 求轮廓线方程 令 0，得流线方程为 tg1y2y2ytg1C xx2y2y2ytg10 xx2将驻点坐标代入上述流线方程式，得C＝0，则轮廓线方程(即经过驻点的流线方程)为

tg或改写为 tg1y2xy2 22xy4由上述流线方程描点作图，即可得出流场图形。

第五章 粘性流体的流动阻力与管路计算

5－1 水流经变截面管道，已知细管直径d1，粗管直径d2＝2d1，试问哪个截面的雷诺数大?两截面雷诺数的比值Re1/Re2是多少？

已已知知：：d2=2d1 解解析析：：将 u4Q4QudReRe代入 ，得

dd2Re1d22，即细管截面的雷诺数大。 Re2d1由于Q1Q2，得

5－2 水管直径d＝10cm，管中流速u＝1.0m/s，水温为10℃，试判别流态。又流速u等于多少时，流态将发生变化？

已已知知：：d=10cm，u=1.0m/s，ν=1.308×10-6m2/s。 解解析析：：(1) Reud1.00.176452.62300，管中水的流态为紊流；

1.308106230023001.3081060.03m/s 2300，得 u(2) 令 Red0.1ud即流速u等于0.03m/s时，流态将发生变化。

5－3 通风管道直径为250mm，输送的空气温度为20℃，试求保持层流的最大流量。若输送空气的质量流量为200kg/h，其流态是层流还是紊流？

已已知知：：d=250mm，200kg/h，ν=15×10-6m2/s，ρ=1.205kg/m3。

解解析析：：(1) 令 Reud4Qc2300，得 d2300d23003.140.25151066.77103m3/s Qc44(2) QM2000.046m3/s

36001.205 Re4Q40.046156262300，管中空气流态为紊流。 d3.140.25151065－4 有一矩形截面的小排水沟，水深15cm，底宽20cm，流速0.15m/s，水温10℃，试判别流态。

已已知知：：h=15cm，a=20cm，u=0.15m/s，ν=1.308×10-6m2/s。

4A40.20.150.24m U0.220.15ude0.150.24 Re275232300，排水沟内的流态为紊流。 1.308106解解析析：：(1) de5－5 散热器由8×12mm2的矩形截面水管组成，水的运动粘性系数为0.0048cm2/s，要确保每根水管中的流态为紊流(取Re≥4000)以利散热，试问水管中的流量应为多少？

已已知知：：A=8×12mm2，ν=0.0048cm2/s，Rec=4000。 解解析析：：de Qc4Qc4A40.0120.0084000，得 9.6103m，取RecdeU2(0.0120.008)4000de10003.149.61030.481061.447105m3/s 45－6 输油管的直径d＝150mm，流量Q＝16.3m3/h，油的运动粘性系数ν＝0.2cm2/s，试求每公里管长的沿程压头损失。

已已知知：：d=150mm，Q=16.3m3/h，ν=0.2cm2/s。 解解析析：：(1) u4Q416.30.256m/s 22d36003.140.150.2560.1519202300，油管内的流态为层流。

0.210464640.0333 Re1920 Reudlu210000.25620.03330.742m油柱 hfd2g0.1529.815－7 应用细管式粘度计测定油的粘度，已知细管直径d＝6mm，测量段长l＝2m，实测油的流量Q＝77cm3/s，水银压差计读数h＝30cm，油的重度γ＝8.83kN/m3，试求油的运

动粘性系数ν和动力粘性系数μ。

已已知知：：d=6mm，l=2m，Q=77cm3/s，h=30cm，γ=8.83kN/m3。

－64Q47710解解析析：：(1) u2.72m/s 22d3.140.006

pf(汞)h(13.69.818.83)1030.337.37610N/m32

先假定细管内的流态为层流，由式(5-19)可得

37.3761030.0062 7.73103Pas

32ul322.722pfd27.731039.81628.5910m/s 38.8310验证流态：Reud2.720.006 19002300，即管内为层流，以上假定正确。68.59105－8 为了确定圆管的内径，在管内通过ν为0.013cm2/s的水，实测流量为35cm3/s，长15m管段上的压头损失为2cm水柱，试求此圆管的内径。

已已知知：：ν=0.013cm2/s，Q=35cm3/s，l=15m，pf2cmH2O。 解解析析：：先假定管内的流态为层流，由哈根—泊肃叶公式可得

128lQ41280.01310410001535106d40.0194m19.4mm

pf3.140.0298104Q435106验证流态：Re17682300

d3.140.01940.013104即管内为层流流动，以上假定正确。

5－9 要求用毕托管一次测出半径为r0的圆管层流的截面平均流速，试求毕托管测口应放置的位置。

已已知知：：r0

解解析析：：因为圆管层流截面平均速度为管轴心最大速度的一半，即u将式(5-14)变换形式，注意R=r0，得 uumax[1(1umax。 2r2)] r0令 uur11umax，可得 1()2

r022所以 rr020.707r0，即毕托管测口应放置在r=0.707r0的位置处。

5－10 油管直径为75mm，已知油的重度为8.83kN/m3，运动粘性系数为0.9cm2/s，在管轴位置安放连接水银压差计的毕托管，水银面高差h＝20mm，水银重度为133.38kN/m3，试求油的流量。

已已知知：：d=75mm，γ=8.83kN/m3，ν=0.9cm2/s，h=20mm， γ汞=133.38kN/m3。

解解析析：：由静力学方程得 p0p(汞－)h

2umax，得 由伯努利方程 p0p2g

umax2g(p0p)2g(汞)h29.81(133.388.83)1030.02 8.831032.35m/s假定油管内的流态为层流，则有

1111d2ud2umax3.140.07522.355.19103m3/s 4428ud2.350.075验证流态：Re 9792300，即油管内为层流，以上计算正确。

20.9104 QuA5－11 铁皮风管直径d＝400mm，风量Q＝1.2m3/s，空气温度为20℃，试求沿程阻力系数，并指出所在阻力区。

已已知知：：d=400mm，取Δ=0.33，Q=1.2m3/s，ν=15×10-6m2/s。 解解析析：：u4Q41.29.55m/s d23.140.424Q41.252.5510 6d3.140.41510d878 Re4007)9.02104 而 Rea26.98()26.98(0.33 Reb4160(d0.854000.85)4160()9.64105 220.33因为 ReaReReb，所以流动处在水力粗糙管区。 应用阿尔特索里公式计算沿程阻力系数 0.11(d680.250.33680.25)0.11()0.02 5Re4002.55105－12 管道直径d＝50mm，绝对粗糙度Δ＝0.25mm，水温为20℃，试问在多大流量范

围内属于水力粗糙区流动？

已已知知：：d=50mm，Δ=0.25mm，ν=1.0×10-6m2/s。

507解)11502 解析析：：Rea26.98()26.98(0.25 Reb4160(d878d0.85500.85)4160()208494 220.25当 ReaReReb时，流动属于紊流水力粗糙管区，则 令 Re4QminRea，得 d QmindRea43.140.051.0106115024.51104m3/s

4令 Re4QmaxReb，得 d QmaxdReb43.140.051.01062084948.18103m3/s

4即当流量在QminQQmax范围内时，属于紊流水力粗糙管区流动。

5－13 钢板制风道，截面尺寸为300×500mm2，长度为30m，风量为2.1m3/s，温度为20℃，试分别按阿尔特索里公式和莫迪图计算压力损失。

已已知知：：300×500mm2，l=30m，取Δ=0.33，Q=2.1m3/s，ρ=1.205kg/m3，ν=15×10-6m2/s。 解解析析：：de4A40.30.5Q2.10.375m； u14m/s U2(0.30.5)A0.30.54Q42.154.75610 de3.140.375151060.338.8104 375 Re

de(1) 将上述数据代入阿尔特索里公式，得

680.330.11()0.250.11(dRe37568)0.250.0197 54.75610风道的压力损失为 pfl1301u20.01971.205142186.1Pa de20.3752(2) 根据Re和Δ/d，查莫迪图得0.0147。

则风道的压力损失为 pfl1301u20.01471.205142138.9Pa de20.37525－14 自来水铸铁管管长600m，直径300mm，通过流量60m3/h，试用莫迪图计算沿程压头损失。

已已知知：：l=600m，d=300mm，取Δ=0.36mm，Q=60m3/h，ν=1.0×10-6m2/s。 解解析析：：u4Q4600.236m/s 22d36003.140.30.2360.30.364； 7.08100.0012

d3001.0106查莫迪图得0.023，代入达希公式，得

Reudlu26000.23620.0230.13mH2O hfd2g0.329.815－15 矩形风道的截面尺寸为1200×600mm2，空气流量为42000m3/h，空气重度为10.89N/m3，测得相距12m的两截面间的压力差为31.6N/m2，试求风道的沿程阻力系数。

已已知知：：A=1200×600mm2，Q=42000m3/h，γ=10.89N/m3，l=12m，pf=31.6N/m2。 解解析析：：de4A41.20.60.8m U2(1.20.6) u4Q44200023.22m/s de236003.140.82lu2由 pf，得

de2g 2gdepf29.810.831.60.007

u2l10.8923.222125－16 铸铁输水管长l＝1000m，直径d＝300mm，管材的绝对粗糙度Δ＝1.2mm，水温10℃，通过流量Q＝100L/s，试求沿程压头损失。

已已知知：：l=1000m，d=300mm，Δ=1.2mm，ν=1.308×10-6m2/s，Q=100L/s。

34Q410010解解析析：：u1.415m/s 22d3.140.3 Re查莫迪图得

ud1.21.4150.350.004 ； 3.25106de3001.308100.0287

lu210001.41520.02879.76mH2O hfd2g0.329.815－17 圆管和正方形管道的截面面积、长度、相对粗糙度都相等，且通过的流量相等，试求两种形状管道沿程损失之比：(1)管流为层流；(2)管流为完全粗糙区。

已已知知：：圆管与方管的截面积、长度、相对粗糙度及流量均相等。

解解析析：：设圆管与方管的截面积、长度、相对粗糙度及流量分别为A、l、Δ和Q；圆管直径为d，方管边长为a，当量直径为de；圆管内的沿程损失为pf，方管内的沿程损失为

pf。则有 d对于层流 pf4A； deaA

32lul12；对于紊流 ，且λ为常数。所以 puf2d2d(1) 对于层流，有

pfde2A2

4Apfd4(2) 对于紊流，有

pfdepfdA 24A5－18 圆管和正方形管道的截面面积、长度、沿程阻力系数都相等，且管道两端的压力差相等，试求两种形状管道的流量之比。

已已知知：：圆管与方管的截面积、长度、沿程阻力系数以及管道两端的压力差都相等。 解解析析：：设圆管与方管的截面积、长度、沿程阻力系数分别为A、l和pf；圆管直径为d，方管边长为a，当量直径为de；圆管内流量为Q，方管内的流量为Q，pfl12 u。

d2，可得 由pfpfuud a由da，可得

1422a d2551QuAdd2d2444那么 2()()()41.06

QuAa4a4a45－19 输水管道中设有阀门，已知管道直径为50mm，通过流量为3.34L/s，水银压差计读数Δh＝150mmHg，沿程损失不计，试求阀门的局部阻力系数。

已已知知：：d=50mm，Q=3.34L/s，Δh=150mmHg。 解解析析：：(1) 管道中水的流速为

4Q43.34103 u1.70m/s 22d3.140.05阀门的局部阻力损失为

pj(汞)gh(13.61)9.811030.1518541N/m2

1u2，可得阀门的局部阻力系数为 2由局部阻力计算式pjK K2pju221854112.83

10001.7025－20 测定阀门的局部阻力系数，为消除管道沿程阻力的影响，在阀门的上、下游共装设四根测压管，其间距分别为l1和l2，管道直径d＝50mm，测得测压管水面标高▽1＝165cm，▽2＝160cm，▽3＝100cm，▽4＝92cm，管中流速u＝1.2m/s，试求阀门的局部阻力系数。

已已知知：：d=50mm，▽1=165cm，▽2=160cm，▽3=100cm，▽4=92cm，u=1.2m/s。 解解析析：：(1) 根据题意可得阀门的局部阻力为

hjhwhf1hf2(23)(12)(34)22123421.601.6521.00.920.47mH2Ou2由局部阻力的计算式 hjK，可得阀门的局部阻力系数为

2g K

2ghju229.810.476.4 21.25－21 水箱中的水通过等直径的垂直管道向大气流出。如水箱的水深为H，管道的直径为d，管道的长度为l，沿程阻力系数λ，局部阻力系数K，试问在什么条件下，流量随管长的增加而减小？在什么条件下，流量随管长的增加而增大？

已已知知：：H，d，l，λ，K。 解解析析：：列水箱水面至管道出口的伯努利方程，得

lu2 Hl(K)

d2g将 u4Q12g(Hl)2Qd代入上式，整理后得 2ld4Kd令

dQ11d2dl422g(lK)2g(Hl)dd0，可得 HdK

2g(Hl)l(K)2ldKd即在H当HdK时，流量存在最大值。所以，当HdK时，流量随管长的增加而减小；

dK时，流量随管长的增加而增大。

5－22 用突然扩大管道使平均流速由u1减小到u2，若直径d1=350mm，流速u1=3.0m/s，试求使测压管液面差h成为最大值的u2及d2，并求最大的h值。

已已知知：：d1=350mm，u1=3.0m/s。

解解析析：：根据题意知 p2p1h ① 列1、2两截面间的伯努利方程，并注意到

(u1u2)2 hj

2g2u12p2u2(u1u2)2则 ② 2g2g2gp1联立①、②两式，整理后得 h12(u1u2u2) ③ g令

udh13.0(u12u2)0，得 u211.5m/s du2g2211d12u1d22u2，可得 d22d12350495mm。 44u将 u21、d22d1代入③式，得测压管液面差h的最大值为

2又由

u123.02 hmax0.23m

4g49.815－23 流速由u1变为u2的突然扩大管，如分为两次扩大，中间流速u取何值时，局部压头损失最小，此时压头损失为多少?并与一次扩大相比较。

已已知知：：u1和u2。

22(uu)(uu)12解解析析：：根据题意有 hj 2g2g令

dhjduuu4u2(u1u2)0，得 u12

22g即在 uu1u2时，局部压头损失最小。 2(u1u2)2u1u2将 u，代入上面的局部压头损失计算式，得 hj

4g2即，两次扩大时的局部压头损失只是一次扩大时局部压头损失的一半。

5－24 水箱中的水经管道出流，已知管道直径为25mm，长度为6m，水位H＝13m，沿程阻力系数λ＝0.02，试求流量及管壁切应力τ0。

已已知知：：d=25mm，l=6m，H=13m，λ=0.02，K1=0.5，K2=1.0。

解解析析：：(1) 列水箱水面至管道出口的伯努利方程，得

lu2 H(K)

d2g则 u2gH29.81136.36m/s

l6K0.021.5d0.02511d2u3.140.02526.363.12103m3/s 44l161(2) 因为 pfu20.0210006.36297079.4N/m2

d20.025212由 dpfdl0，可得管壁切应力为

4所以 Q 0pfd4l97079.40.025101.1N/m2

465－25 水管直径为50mm，1、2两截面相距15m，高差3m，通过流量Q＝6L/s，水银压差计读数为250mm，试求管道的沿程阻力系数。

已已知知：：d=50mm，l=15m，H=3m， Q=6L/s，Δh=250mm。 解解析析：：由静力学方程得 (p1z1)(p2z2)(汞)h

p1p2(汞)h(z2z1)

(13.61)98100.2598103 60331.5N/m24Q46103流速为 u3.06m/s 22d3.140.05由

pfp1p2l1u2，得沿程阻力系数为 d2 2pfd260331.50.050.043 22ul10003.06155－26 两水池水位恒定，已知管道直径d＝10cm，管长l＝20m，沿程阻力系数λ＝0.042，局部阻力系数K弯＝0.8，K阀＝0.26，通过流量Q＝65L/s，试求水池水面高差H。

已已知知：：d=10cm，l=20m，λ=0.042，K弯=0.8，K阀=0.26， K入=0.5，K出=1.0，Q=65L/s。

34Q46510解解析析：：管内流速为 u8.28m/s 22d3.140.10列两水池液面间的伯努利方程，得两水池水面高差为

lu2 H(K)

d2g208.2820.830.260.51.0)43.9m (0.0420.1029.815－27 气体经突然扩大管道流过，已知管内气体密度ρ＝0.8kg/m3，外部空气密度ρa＝1.2kg/m3，直径d1＝50mm，d2＝100mm，流速u1＝20m/s，1截面压力计读数h1＝100mmH2O，H＝10m，沿程阻力不计，试求突扩管的局部压力损失及2截面压力计读数h2。

已已知知：：ρ=0.8kg/m3，ρa=1.2kg/m3，d1=50mm，d2=100mm， u1=20m/s，h1=100mmH2O，H=10m。 解解析析：：(1) 由连续性方程 u1A1u2A2，得 u2u1(d120.052)20()5.0m/s d20.10由突然扩大管道的局部阻力计算式(5－53)，得 pj(u1u2)220.8(205.0)290N/m2

22(2) 已知 pm1H2Oh198100.1981N/m 列1、2两截面间的伯努利方程，得 pm11212u1pm2(a)gHu2pj 2212pm2pm1(u12u2)(a)gHpj21 9810.8(2025.02)(1.20.8)9.811090

21080N/m2由 pm2H2Oh2，得 h2pm2HO210800.110m110mm 98105－28 如图所示的装置，箱内液体的比重为1.2，压差计内液体的比重为3，问：(1)如流线型管嘴出流无压头损失，R和H是什么关系？(2)如流线型管嘴出流的压头损失为0.1H，R和H是什么关系？

已已知知：：S1=1.2，液体的比重为S2=3。

解解析析：：(1) 设无出流阻力时，管嘴出口处的全压值为pq，列箱内液面至管嘴出口的伯努利方程，得 pqH1

设管嘴出口中心线至压差计内液面2间的距离为L，由静力学方程可得 (HLR)1H1L1R2 简化上式，得 R1R2

由于12，所以R必定为零，即U型压差计内左右液面为水平，无压力差，R与H无关。

(2) 若管嘴出流的压头损失为0.1H，此时管嘴出口处的全压值为pq0.9H1，由静力学方程可得 (HLR)10.9H1L1R2 简化上式，得 (R0.1H)1R2，即 R0.1H0.1H0.1HH

2/11S2/S113/1.21155－29 用孔板流量计量测管道中的空气流量，管道直径D＝200mm，孔口直径d＝100mm，空气温度为25℃，微压计读数Δh＝120mmH2O，孔板的流量系数μ＝0.64，求流量。

已已知知：：D=200mm，d=100mm，Δh=120mmH2O，μ=0.64。 解解析析：：25℃空气的密度为 01.2931.18kg/m3

1t125/273由空口出流计算式(5－68)可得

QA

2p2H2Oh1d241298100.123.140.120.64 41.180.224m3/s5－30 有恒定的流量Q=80L/s注入水箱A中，如孔口和管嘴的直径d均为100mm，管嘴长度皆为400mm，求流量Q1、Q2和Q3，以及两水箱液面间的高差ΔH。

已已知知：：Q=80L/s，d=100mm，l=400mm，μ1=0.62，μ2=μ3=0.82。 解解析析：：(1) 设A水箱液面至管嘴出口间的高度为H2，B水箱液面至管嘴出口间的高度为H3。孔口及管嘴的流量系数分别为μ1=0.62，μ2=μ3=0.82，由孔口及管嘴出流计算式，得

1d212g(H2H3) ① 412 Q2d22gH2 ②

412 Q3d32gH3 ③

4 Q1又知 Q1Q3 ④ QQ2Q3 ⑤ 联立①、③、④式，整理后得

H2(3)21 H31联立②、③式，得 Q2Q3H2Q3(3)21 H31将上式代入⑤式，得 QQ3((32)11) 1Q2所以

Q3(3/1)1180(0.82/0.62)11230.1L/s；

Q1Q330.1L/s

Q2Q3(320.822)130.1()149.9L/s 10.62(2) 将Q1代入①式，得两水箱液面间的高差ΔH为

16Q1216(30.1103)2 HH2H31.95m

2g122d429.810.6223.1420.145－31 两水箱用一直径为d1=40mm的薄壁孔口连通，下水箱底部又接一直径为d2=30mm的圆柱形管嘴，长为l=100mm，若上游水深H1=3m保持恒定，求流动稳定后的流量Q和下游水深H2。

已已知知：：d1=40mm，d2=30mm，H1=3m，l=100mm，取μ1=0.62，μ2=0.82。 解解析析：：由孔口及管嘴出流计算式，得

1d1212g(H1H2) 412 Q2d222g(H2l)

4 Q12由 Q1Q2Q，有 d1212g(H1H2)d222g(H2l)

上式两边同时平方，整理后得

42d1412H1d22l0.0440.62230.0340.8220.1 H21.9m 42424242d11d220.040.620.030.821QQ1d1212g(H1H2)4 13.140.0420.6229.81(31.9)3.62103m3/s45－32 如图所示的容器，有上下两个孔口，如射流落地的水平距离皆为8m，H＝10m，孔口出流的阻力不计，求h1和h2。

已已知知：：x=8m，H=10m。 解解析析：：由孔口出流计算式，得

u12gh1， u22g(Hh2)

所以 x1u112gh11，x2u222g(Hh2)2 由于 x1x2，即 上式整理后，可得

2gh112g(Hh2)2

1Hh2 ① 2h11212 g1，y2h2g222又知 y1Hh1以上两式相除，得

1Hh1 ② 2h2比较①、②两式，可以得到 h1h2 将 x1u112gh11和y1Hh1 4h14Hh1x10

2212g1合并，消去1，整理后得 24H16H216x124104102824024解之，得 h1 242488m不符合实际，应舍去。 取 h1h22.0m；而h15－33 圆筒形封闭水箱底部有一长h＝100mm、直径d＝25mm的圆柱形外管嘴，其流量系数μ＝0.82，箱内水深H＝900mm，水箱直径D＝800mm，问箱内液面相对压力p0应保持多大，该水箱放空时间可比敞口水箱减少一半？

已已知知：：d=25mm，h=100mm，H=900mm，μ=0.82，D=800mm。 解解析析：：(1) 对于敞口水箱，根据管嘴出流计算式，在任意时刻管嘴出流流量为 Q1d22gz 4设在d时间内水箱内的水面下降dz，根据体积相等，列体积守恒方程，得

11d22gzdD2dz 441分离变量，积分得

1Dl1D2 1()2z2dz()2(Hll) ①

Hldg2gd代入已知数据，得

1

1D22()(Hll)dg10.822()(0.90.10.1)385.5s0.820.0259.81

(2) 当封闭水箱内表面相对压力为p0时，在任意时刻管嘴出流流量为 Qp1d22g(0z) 4根据体积相等，列体积守恒方程，得

p121d2g(0z)dD2dz 44分离变量，积分得

1D2lp01D22()(z)2dz()2(p0/Hlp0/l)Hlddg2g1

② 令 211，由①、②两式得 21p0/Hlp0/l(Hll)

22整理上式，并代入数据得 p011.8kN/m

5－34 自水池中引出一根具有三段不同直径的水管，已知直径d＝50mm，D＝200mm，长度l＝100m，水位H＝12m，沿程阻力系数λ＝0.03，局部阻力系数K阀＝5.0，试求通过水管的流量，并绘总压头线及测压管压头线。

已已知知：：d1=d3=d4=d=50mm，d2=D=200mm，l1=l2=l3=l=100m，l4=50m，H=12m，λ=0.03，K阀=5.0。

解解析析：：(1) 在计算流量时，除了阀门外，其它的局部阻力与沿程阻力相比都较小，暂时忽略不计。三段管路为串联，各段阻抗分别为

SH18l180.0310025794022.7s/m 2525d1g3.140.059.818l280.03100775.4s2/m5 2525d2g3.140.29.81 SH2

SH38(l3l4)K80.03(10050)5.02d35g2d34g3.1420.0559.813.1420.0549.81

1199305.1s2/m525总阻抗为 SHSH1SH2SH3794022.7775.41199305.11994103.2s/m

由伯努利方程可得 HSHQ 则流量为 Q2H122.453103m3/s SH1994103.2(2) 各管段流速分别为

4Q42.453103 u1u3u41.25m/s

d23.140.05234Q42.45310 u20.078m/s 22D3.140.2l1u121001.252第一管段的沿程阻力分别为 pf10.034.78mH2O

d12g0.0529.81l2u221000.0782第二管段的沿程阻力分别为 pf20.034.65103mH2O

d22g0.229.81l3u321001.252第三管段的沿程阻力分别为 pf30.034.78mH2O

d32g0.0529.81l4u42501.252第四管段的沿程阻力分别为 pf40.032.39mH2O

d42g0.0529.81u121.2520.50.04mH2O 而管道入口端的局部阻力为 hj1K12g29.81(u1u2)2(1.250.078)20.07mH2O 突然扩大管段的局部阻力为 hj22g29.81突然收缩管段的局部阻力为

A2u225020.0782 hj30.5(1)0.5[1()]1.45104mH2O

A12g20029.81u321.2525.00.4mH2O 阀门的局部阻力为 hj4K阀2g29.81根据以上数据,计算出各节点的总压头及测压管压头，即可绘制出总压头线及测压管压头线。

5－35 某加热炉出料门宽1.8m，高0.5m，炉气温度1300℃，炉气密度1.32kg/m3(标态)，炉外空气温度20℃，炉门流量系数取0.72。求下列情况下通过炉门的逸气量(或吸气量)。(1)零压面位于炉底；(2)零压面位炉底面以上0.2m处。

已已知知：：B=1.8m，H=0.5m，ta=20℃，tg=1300℃，ρg0=1.32kg/m3，μ=0.72。 解解析析：：20℃的空气及1300℃的炉气密度分别为 aa01.2939.8111.82N/m3

1ta120/273

gg01.329.812.25N/m3

1tg11300/273(1) 当pm1＝0时，将已知数据代入式(5－70)得

2gH(ag)2QBH3g229.810.5(11.822.25)0.721.80.52.79m3/s32.25

折算成标准状态时为

Q0Q2.790.484Nm3/s

1tg11300/273(2) 若零压面位炉底面以上0.2m处，则上半部的逸气量为

2gH(ag)2QBH3g229.810.3(11.822.25)0.721.80.31.30m3/s32.25

折算成标准状态时为

Q0Q1.300.226Nm3/s

1tg11300/273下半部的吸气量由式(5－71)为

2gH(ag)2QxiBH3a229.810.2(11.822.25)0.721.80.20.31m3/s311.82

折算成标准状态时为

Q0xiQxi0.310.29Nm3/s

1ta120/2735－36 虹吸管将A池中的水输入B池，已知长度l1＝3m，l2＝5m，直径d＝75mm，两池水面高差H＝2m，最大超高h＝1.8m，沿程阻力系数λ＝0.02，局部阻力系数：进口Ke＝0.5，转弯Kb＝0.3，出口Ko＝1，试求流量及管道最大超高截面的真空度。

已已知知：：l1=3m，l2=5m，d=75mm，H=2m，h=1.8m，λ=0.02，Ke=0.5，Kb=0.3，Ko=1。 解解析析：：(1) 列上下游水面间的伯努利方程，基准面取在下游水面上，得

lu2 H(K)

d2g则

u2gH29.8123.16m/s

l35K0.020.50.31d0.075流量为 Q11d2u3.140.07523.160.014m3/s 44(2) 列上游水面至C截面间的伯努利方程，基准面取在上游水面上，得 0pmcgh(1l11KeKb)u2 d2l11KeKb)u2 d2所以，管道最大超高截面的真空度为 pvcpmcgh(1

1000[9.811.8(10.02310.50.3)3.162]30.64kN/m2 0.07525－37 有压排水涵管的上、下游水位差为1.5m，排水量为2.0m3/s，涵管长为20m，沿程阻力系数λ＝0.03，局部阻力系数：进口Ke＝0.5，出口Ko＝1.0，试求涵管直径。

已已知知：：H=1.5m，Q=2.0m3/s，l=20m，λ=0.03，Ke=0.5，Ko=1.0。

解解析析：：列上下游水面间的伯努利方程，基准面取在下游水面上，得

lu2 H(K)

d2g将 u4Q代入上式，得 Hd28(lK)dQ2 24dg上式整理后，得

2gHQ25d58Kd8l0

代入数据得 36.27d12d4.80

采用试算法进行试算，得涵管直径为 d0.836m

5－38 自然排烟锅炉，烟囱直径d＝0.9m，烟气流量Q＝7.0m/s，烟气密度ρ＝0.7kg/m3，外部空气密度ρa＝1.2kg/m3，烟囱沿程阻力系数λ＝0.035，为使底部真空度不小于15mmH2O，试求烟囱的高度H。

３已已知知：：d=0.9m，Q=7.0m/s，ρ=0.7kg/m3，ρa=1.2kg/m3，λ=0.035，

３

pv1＞15mmH2O，pm2=0。 解解析析：：烟气流速为 u4Q47.011.0m/s 22d3.140.9列烟囱底部至顶部的伯努利方程，基准面取在烟囱底部，得 pm1所

11H1u2pm2(a)gHu2u2 22d2以

Hpm1(a)g1d2u20.01510009.8145.2m

0.03512(0.71.2)9.810.711.00.925－39 用虹吸管将钻井中的水输送到集水井，已知虹吸管全长60m，直径200mm，虹吸管为钢管，沿程阻力系数λ＝0.012，管道进口、弯头和出口的局部阻力系数分别为Ke＝0.5，Kb＝0.5，Ko＝1.0，水位差H＝1.5m，试求虹吸管的流量。

已已知知：：l=60m，d=200mm，λ=0.012，Ke=0.5，Kb=0.5，Ko=1.0，H=1.5m。

解解析析：：列上下游水面间的伯努利方程，基准面取在下游水面上，得

lu2 H(K)

d2g则 u2gH29.811.52.20m/s

l60K0.0120.50.521.0d0.2流量为 Q11d2u3.140.222.200.069m3/s 445－40 水从密闭容器A沿直径d＝25mm、长度l＝10m的管道流入容器B，已知容器A

水面的相对压力p1＝2at，水面高H1＝1m，H2＝5m，沿程阻力系数λ＝0.025，局部阻力系数：阀门Kv＝4.0，弯头Kb＝0.3，试求流量。

已已知知：：d=25mm，pm1=2×98100N/m2，H1=1m，l=10m，H2=5m，λ=0.025，Kv=4.0，Kb=0.3，Ke=0.5，Ko=1.0。

解解析析：：(1) 列两容器液面间的伯努利方程，基准面取在地面上，得

pm1H1H2hw pm1298100(1.05.0)16mH2O

9810抗

为

则 hw阻

(H1H2)8(SHl10K)8(0.0250.54.00.331.0)625d0.0253.4710s/m 2424dg3.140.0259.812由式(5－76) hwSHQ，得流量为

Qhw16332.1510m/s 6SH3.47105－41 由水库引水，先用长l1＝25m，直径d1＝75mm的管道将水引至贮水池中，再由长l2＝150m，直径d2＝50mm的管道将水引至用水点。已知水头H＝8m，沿程阻力系数λ1＝λ2＝0.03，阀门局部阻力系数Kv＝3，试求：(1)流量Q和水面高差h；(2)绘总压头线和测压管压头线。

已已知知：：l1=25m，d1=75mm，l2=150m，d2=50mm，H=8m，λ1=λ2=0.03，Kv=3，Ke=0.5，

Ko=1.0。

解解析析：：(1) 各管段阻抗分别为

8(l11dK)8(0.03250.51.0) S1H12d40.0752.07549.813.0104s2/m5 1g3.1408(l22 SdK)8(0.031500.531.0)2H22d40.0520549.811.25106s2/m5 2g3.140.总阻抗 S46106s2/m5HSH1SH23.0101.25101.28

列水库水面至用水点之间的伯努利方程，基准面取在出水口处，得

HhS2wHQ

则 QH8S.02.5103m36/s H1.2810(2) 列水库水面至贮水池水面之间的伯努利方程，基准面取在贮水池水面上，得

hh2432w1SH1Q3.010(2.510)0.19m

(3) 各管段流速分别为

u4Q42.5103 1d2.140.07520.566m/s134Q42.5103u2d221.274m/s 23.140.05则各点局部压头损失分别为

hu221je1Ke2g0.50.56629.818.16103mH2O hu221jo1Ko2g1.00.56629.810.0163mH2O hu221.2742je2Ke2g0.529.810.0414mH2O u22 h21.274jo2Ko2g1.029.810.0827mH2O 各管段沿程阻力分别为

，

l1u12250.5662 hw110.030.163m

d12g0.07529.81 hw2l2u221501.274220.037.45m

d22g0.0529.81根据以上数据，计算出各节点的总压头和测压管压头值，即可绘出总压头线和测压管压头线。

5－42 由水塔向水车供水，已知供水管直径d＝100mm，长度l＝80m，中间装有两个闸阀和四个90°弯头，管道的沿程阻力系数λ＝0.03，局部阻力系数：阀门Kv＝0.12，弯头Kb＝0.48，水塔的水头H＝6m，水车的有效容积V＝7m3，试求水车充满水所需时间。

已已知知：：d=100mm，l=80m，λ=0.03，Kv=0.12，Kb=0.48， Ke=0.5，Ko=1.0，H=6m，V=7m3，

解解析析：：列水塔水面至供水口之间的伯努利方程，基准面取

2在出水口处，得 HhwSHQ

管路阻抗为

8(SHl80K)8(0.030.50.1220.4841.0)25d0.122878s/m 2424dg3.140.19.81则 QH60.0162m3/s SH22878V7.0432s7.2min Q0.0162那么，水车充满水所需要的时间为 5－43 两水池水面高差恒定，H＝3.8m，用直径d1＝200mm、d2＝100mm，长度l1＝10m、

l2＝6m的串联管道相连接，沿程阻力系数λ1＝λ2＝0.02，试求：(1)流量并绘总压头线和测压管压头线；(2)若直径改为d1＝d2＝200mm，λ不变，流量增大多少倍？

已已知知：：H=3.8m，d1=200mm，d2=100mm，l1=10m，

l2=6m，λ1=λ2=0.02，Ke=0.5，Ko=1.0。

解解析析：：(1) 列两水池液面间的伯努利方程，基准面取在下水池液面上，得

l1u12d22u22l2u22 H(1 Ke)0.5[1()](2Ko)d12gd12gd22g由 u1A1u2A2，可得 u2u1(d12)，代入上式得 d2l1d22d12l2d12u12 H{(1Ke)0.5[1()]()(2Ko)()}

d1d1d2d2d22g u12gH

l1d22d12l2d12(1Ke)0.5[1()]()(2Ko)()d1d1d2d2d2

29.813.8100.10.260.2(0.020.5)0.5[1()2]()2(0.021.0)()2

0.20.20.10.10.12.5m/sd120.2)2.5()210m/s d20.1 u2u1(流量为 Q11d12u13.140.222.50.0785m3/s 44(2) 各点局部压头损失分别为

u122.520.50.16mH2O hjeKe2g29.81u220.121020.5[1()]1.9mH2O hjkKk2g0.229.81u221021.05.1mH2O hjoKo2g29.81各管段沿程阻力分别为

l1u12102.52 hw110.020.32m

d12g0.229.81 hw2l2u22610220.026.1m

d22g0.129.81根据以上数据，计算出各节点的总压头和测压管压头值，即可绘出总压头线和测压管压头线。

(3) 若直径d1=d2=200mm，按简单管路计算，其阻抗为

8( SHl16K)8(0.020.51.0)d0.2160.25s2/m5 2424dg3.140.29.812列两水池液面间的伯努利方程，可得 HhwSHQ

此时的流量为 QH3.80.154m3/s SH160.250.1541.96倍。

0.0785比原来的流量增加了

5－44 自密闭容器经两段串联管道输水，已知压力表读数pM＝98.1kPa，水头H＝2m，管长l1＝10m、l2＝20m，直径d1＝200mm、d2＝100mm，沿程阻力系数λ1＝λ2＝0.03，试求流量并绘总压头线和测压管压头线。

已已知知：：pM=98.1kN/m2，H=2m，l1=10m，l2=20m，d1=200mm，d2=100mm，λ1=λ2=0.03。

解解析析：：(1) 列容器液面至输水口之间的伯努利方程，基准面取在输水口所在的水平面内，得

l1u12d22u22l2u22 H(1Ke)0.5[1()](2Ko)d12gd12gd22gpm1由 u1A1u2A2，可得 u2u1(d12)，代入上式得 d2l1d22d12l2d12u12 H{(1Ke)0.5[1()]()(2Ko)()}d1d1d2d2d22gpm1u12g(pm1/H)lddld(11Ke)0.5[1(2)2](1)2(22Ko)(1)2d1d1d2d2d2

29.81(98100/98102)

100.120.22200.22(0.030.5)0.5[1()]()(0.031.0)()0.20.20.10.10.12.734m/sd120.2)2.73()210.94m/s d20.1 u2u1(流量为 Q11d12u13.140.222.7340.0858m3/s 44(2) 各点局部压头损失分别为

u122.73420.50.19mH2O hjeKe2g29.81u220.1210.9420.5[1()]2.29mH2O hjkKk2g0.229.81u2210.9421.06.10mH2O hjoKo2g29.81各管段沿程阻力分别为

l1u12102.7342 hw110.030.571m

d12g0.229.81 hw2l2u222010.94220.0336.6m

d22g0.129.81根据以上数据，计算出各节点的总压头和测压管压头值，即可绘出总压头线和测压管压头线。

5－45 水从密闭水箱沿垂直管道送入高位水池中，已知管道直径d＝25mm，管长l＝3m，水深h＝1.0m，流量Q＝1.5L/s，沿程阻力系数λ＝0.033，阀门的局部阻力系数Kv＝9.3，试求密闭容器上压力表读数pm，并绘总压头线和测压管压头线。

已已知知：：d=25mm，l=3m，h=0.5m，Q=1.5L/s，λ=0.033，Kv=9.3，Ke=0.5，Ko=1.0。

解解析析：：(1) 管道阻抗为

8( Spl30.5K)81000(0.0330.59.31.0)10d0.025 3.2102424d3.140.025列密闭水箱至高位水池液面间的伯努利方程，基准面取在下水箱液面上，得 pmpwSpQ23.210101.51034.8107Pa (2) 管道流速为

4Q41.5103 u3.06m/s

d23.140.0252则各点局部压头损失分别为

u23.0620.50.24mH2O hjeKe2g29.81u23.0621.00.48mH2O hjoKo2g29.81u23.0629.34.44mH2O hjbKb2g29.81根据以上数据，计算出各节点的总压头和测压管压头值，即可绘出总压头线和测压管压头线。

5－46 储气箱中的煤气经管道ABC流入大气中，已知Δh＝100mmH2O，断面标高zA

＝0、zB＝10m、zC＝5m，管道直径d＝100mm，长度lAB＝20m、lBC＝10m，沿程阻力系数λ＝0.03，局部阻力系数：进口Ke＝0.6、转弯Kb＝0.4，煤气密度ρ＝0.6kg/m3，空气密度ρa

＝1.2kg/m3，试求流量并绘总压线、势压线和位压线。

已已知知：：Δh=100mmH2O，zA=0，zB=10m，zC=5m，d=100mm，lAB=20m，lBC=10m，λ=0.03，Ke=0.6，Kb=0.4，Ko=1.0，ρ=0.6kg/m3，ρa=1.2kg/m3。

解解析析：：由静力学方程得

pmA水h98100.1981Pa 列储气箱A至管道出口间的伯努利方程， pmA(a)gzC(则 ul1K)u2 d22[pmA(a)gzC]2[981(1.20.6)9.815]17.5m/s

l30(K)0.6(0.030.60.41.0)d0.1流量为 Q11d2u3.140.1217.50.137m3/s 44根据以上数据，计算出各节点的总压和势压值，即可绘出绘总压线、势压线和位压线。

5－47在长度为1000m，直径为300mm的管道上，并联一根直径相同、长度l＝500m的支管(题5－47图中虚线)，若水位差H＝23m，摩擦阻力系数λ=0.03，不计局部损失，试求支管并联前后的流量及其比值。

已已知知：：d=300mm，l＝500m，H＝23m，λ=0.03。 解解析析：：设长度为l=500m管段的阻抗为SH，则 SH8l80.0350025510.56s/m 2525dg3.140.39.81(1) 在支管并联之前，列上下游液面间的伯努利方程，基准面取在下游液面上，得

2 Hhw2SHQ

则流量为 QH230.15m3/s 2SH2510.5615SHQ2SHQ2 44(2) 在支管并联之后，列上下游液面间的伯努利方程，基准面取在下游液面上，得 HhwSHQ则流量为 Q24H4230.19m3/s 5SH5510.563那么 QQQ0.190.150.04m/s

将并联前后的流量相比，可得

Q221.265 Q55－48 并联管道的总流量为Q＝25L/s，其中一根管长l1＝50m、直径d1＝100mm，沿程阻力系数λ1＝0.03，阀门的局部阻力系数K＝3.0；另一根管长l2＝30m，直径d2＝50mm，沿程阻力系数λ2＝0.04，试求各管段的流量及并联管道的压头损失。

已已知知：：Q=25L/s，l1=50m，l2=30m，d1=100mm，d2=50mm， λ1=0.03，λ2=0.04，K=3。 解解析析：：(1) 各支管阻抗分别为

8(1 SH1l1K)8(0.03503)d10.11.489104s2/m5 2424d1g3.140.19.81 SH282l280.04305253.17610s/m 2525d2g3.140.059.81由

111，得总阻抗为 SHSH1SH2SH1SH21.4891043.176105 SH10061 2452(SH1SH2)(1.489103.17610)那么，各管段的流量为

Q1QSH100612510320.55103m3/s 4SH11.48910SH1006133251034.4510m/s 5SH23.17610 Q2Q(2) 并联管道的压头损失为

232 hwSHQ10061(2510)6.3Pa

5－49 有一泵循环管道，各支管阀门全开时，支管流量分别为Q1、Q2，若将阀门A开度关小，其它条件不变，试论证主管流量Q怎样变化，支管流量Q1、Q2怎样变化。

已已知知：：Q1和Q2.。

22解解析析：：因为管路系统中的总压头损失为hwSH0QSH1Q1，22各支路的压头损失分别为hw1SH1Q1和hw2SH2Q2，而且有

hw1hw2。所以，在其它条件不变时，当阀门A的开度关小，阻抗SH1和总阻抗SH均增大，

使得流量Q1和总流量Q都减小，但总流量Q的减小幅度小于流量Q1，由SH1Q1SH2Q2可以看出，由于SH2未变，所以流量Q2还是增大的。

5－50 枝状送风管道各段流量分别为Q1、Q2、Q3，若将支管2末端接长，如图中虚线所示，试问Q1、Q2、Q3有何变化？

已已知知：： Q1、Q2和Q3。

22解解析析：：因管路系统中的总压头损失为hwSH1Q1SH2Q2，22两支路的压头损失分别为hw2SH2Q2和hw3SH3Q3，而且有

22hw2hw3。所以，在其它条件不变的条件下，将支管2接长，使得阻抗SH2和总阻抗SH均

增大，流量Q2和总流量Q1都有所减小，但总流量Q1的减小幅度小于流量Q2，又因为

2SH2Q2SH3Q32，可以看出，由于SH3未变，所以流量Q3还是有所增加的。

5－51 水塔经串并联管道供水，已知供水量Q＝0.1m3/s，各段直径d1＝d4＝200mm，d2

＝d3＝150mm，各段管长l1＝l4＝100m，l2＝50m，l3＝200m，各段沿程阻力系数λ＝0.02，局部阻力不计。试求并联管段的流量Q2、Q3及水塔水面高度H。

已已知知：：Q1=Q4=Q=0.1m3/s，d1=d4=200mm，d2=d3=150mm，

l1=l4=100m，l2=50m，l3=200m，λ=0.02。

解解析析：：(1) 各管段的阻抗分别为 SH1SH48l180.0210025516.94s/m 2525d1g3.140.29.81 SH28l280.02501089.19s2/m5 2525d2g3.140.159.818l380.02200254356.78s/m 2525d3g3.140.159.81 SH322由于 SH2Q2SH3Q3，得 Q3Q2SH2/SH3

又知 QQ2Q3，则得到流量为

Q2Q0.10.0667m3/s

1SH2/SH311089.19/4356.783 Q3QQ20.10.06670.0333m/s

(2) 列水塔水面至供水点间的伯努利方程，基准面取在供水点所在的水平面上，得

HSH1Q1SH2Q2SH4Q42516.940.11089.190.066715.18m 5－52 应用长度同为l的两根管道，从水池A向水池B输水，其中粗管直径为细管直径的两倍d1＝2d2，两管的沿程阻力系数相同，局部阻力不计。试求两管中流量比。

已已知知：：d1=2d2，l1l2。 解解析析：：粗管及细管的阻抗分别为 SH1222228l8l256lS32SH1 ， H252d15g2d2g2d15g列两水池液面间的伯努利方程，基准面取在下水池液面上，得

22 HhwSH1Q1SH2Q2

所以

Q1SH2325.657 Q2SH15－53 通风机向水平风道系统送风，已知干管直径d1＝300mm，长度l1＝30m，末端接两支管，其一直径d2＝150mm，长度l2＝20m；另一支管是截面为0.15m×0.2m的矩形管，长度l3＝15m，通风机送风量Q＝0.5m3/s，各管段沿程阻力系数均为λ＝0.04，空气密度ρ＝1.29kg/m3，忽略局部阻力，试求通风机的风压。

已已知知：：d1=300mm，l1=30m，d2=150mm，l2=20m；l3=15m，A3=0.15m×0.2m，Q=0.5m3/s，λ=0.04，ρ=1.29kg/m3。

解解析析：：矩形风管的当量直径为 de4A40.150.20.171m U2(0.150.2)各管段的阻抗分别为

Sp18l181.290.04307516.89kg/m 2525d13.140.38l281.290.042011026.92kg/m7 2525d23.140.158l381.290.04154295.28kg/m7 2525de3.140.1712 Sp2 Sp32由于 Sp2Q2Sp3Q3，得 Q3Q2Sp2/Sp3 又知 QQ2Q3，所以求得流量为

Q2Q0.50.192m3/s

1Sp2/Sp3111026.92/4295.283 Q3QQ20.50.1920.308m/s

列风机出口至管段2末端之间的伯努利方程，基准面取在管段2末端所在的水平面上，得风机风压为

2 p0Sp1Q12Sp2Q2516.890.5211026.920.1922535.7Pa

5－54 工厂供水系统由水泵向A、B、C三处供水，管道均为铸铁管，已知流量QC＝10L/s，qB＝5L/s，qA＝10L/s，各段管长l1＝350m，l2＝450m，l3＝100m，各段直径d1＝200mm，d2＝150mm，d3＝100mm，整个场地水平，试求水泵出口压力。

已已知知：：QC=10L/s，qB=5L/s，qA=10L/s，l1=350m，l2=450m，l3=100m，d1=200mm，d2=150mm，d3=100mm。

-62解解析析：：水的运动粘度取ν=1.0×10m/s，铸铁管管壁粗糙度取Δ=0.4mm。

各管段的流量分别为

33 Q3QC1010m/s 33 Q2qBQC1510m/s

Q1qAQ22510各管段的平均流速分别为

3m3/s

4Q1425103 u10.796m/sd123.140.224Q2415103u20.849m/s 22d23.140.154Q3410103 u31.274m/s

d323.140.12各管段的雷诺数及其相对应的分界点的雷诺数分别为

Re1，

u1d10.7960.251.59210 61.010d18782007)3.28104 Rea126.98()26.98(0.4 Re2u2d20.8490.151.274105 61.010 Rea2150726.98()26.98()2.36104

0.4d2878 Re3u3d31.2740.15 1.2741061.010d38781007)1.48104 Rea326.98()26.98(0.4根据以上数据可知，各管段的流动均在水力粗糙区内，运用阿尔特索里公式计算各管段的沿程阻力系数，

10.11(d1680.250.4680.25)0.11()0.024 5Re12001.59210680.250.468)0.11()0.250.026 5Re21501.27410680.250.4680.25)0.11()0.028 5Re31001.27410 20.11(d2 30.11(各管段的阻抗分别为

Sp1d381l1810000.0243502.13107kg/m7 2525d13.140.282l2810000.026450871.2510kg/m 2525d23.140.1583l3810000.0281002.27108kg/m7 2525d33.140.1 Sp2 Sp3列水泵出口至管道末端C点间的伯努利方程，基准面取在C点所在的水平面上，得水泵出口压力为

2p0Sp1Q12Sp2Q2Sp3Q32(0.213251.25152.2710)10104.6810Pa836

5－55 三层楼的自来水管道，已知各楼层管长l＝4m，直径d＝60mm，各层供水口高差H＝3.5m，沿程阻力系数λ＝0.03，龙头全开时阻力系数K＝3，不计其它局部阻力。试求当龙头全开时，供给每层用户的流量不少于3L/s，进户压力pM应为多少？

已已知知：：d=60mm，l=4m，H=3.5m，λ=0.03，K=3，Q3=Qi=3.0L/s，。

解解析析：：设一楼至二楼管段的流量为Q；各楼层间长度为l的管段的阻抗为SH0，户内长度为l的管段的阻抗为SH1。那么，

SH08l80.034259573s/m 2525dg3.140.069.818( SH1l4K)8(0.033)25d0.06 31910s/m2424dg3.140.069.8122由二楼节点至二、三楼出水口的压头损失相等，可得 SH1Q2(SH0SH1)Q3H

(SH0SH1)Q32H(957331910)3.021063.50.011m3/s 则 Q2SH1319103而 QQ2Q30.0110.0030.014m/s

222由一楼节点至一、二楼出水口的压头损失相等，可得 SH1Q1SH0QSH1Q2H

2SH0Q2SH1Q2H95730.0142319100.01123.50.017m3/s 则 Q1SH1319103那么 QQ1Q2Q30.0170.0110.0030.031m/s

列进户点至一楼出水口间的伯努利方程，得

pm0(SH0Q2SH1Q12H)(95730.031319100.0173.5)98102.1510Pa225

即当龙头全开，供给每层用户的流量不少于3L/s时，进户压力pM应为2.15×105Pa。

5－56 由水塔供水的输水管路由三段串联组成，各管段的尺寸分别为l1＝300m，d1＝200mm；l2＝200m，d2＝150mm；l3＝100m，d3＝100mm，沿程阻力系数λ＝0.03。管路总输水量为0.04m3/s，其中有一半经管段l2均匀泄出，局部阻力不计。试计算需要的压头H。

已已知知：：l1=300m，d1=200mm；l2=200m，d2=150mm；l3=100m，d3=100mm，λ=0.03。Q=0.04m3/s，Qt=0.02m3/s。

解解析析：：Q1=Q=0.04m3/s，Qt=Qz=Q3=0.02m3/s。 各管段的阻抗分别为 SH18l180.033002326.24

2d15g20.259.818l280.032006535.17 2525d2g0.159.818l380.0310024813.2

2d35g20.159.81 SH2 SH3列水塔液面至管道出口的伯努利方程，不计出口压头和局部阻力，得所需要的压头为

1HhwSH1Q12SH2(Qz2QzQtQt2)SH3Q32312326.240.0426535.17(0.0220.0220.022)24813.20.022

319.75m5－57 将长度为300m，直径为200mm，沿程阻力系数为0.02的三根同规格管道并联组成输水管路，总输水量为1.0m3/s，其中一根管道沿程均匀泄流，泄流量为0.15m3/s。求各支路的输水流量和压头损失。

已已知知：：l= 300m，d=200mm，λ=0.02，Q=1.0m3/s，Qt=0.15m3/s。 解解析析：：三根水管的阻抗均为 SH8l80.023001550.8

2d5g3.1420.259.81设第三根水管有均匀泄流，其入口流量为Q3，途泄流量为Qt，根据并联管路压头损失相等的原理，有

SHQ1SHQ2SH(Q3Q3QtQt) 又因为 QQ1Q2Q3，联立以上各式，可得流量为

33 Q1Q20.31m/s，Q30.38m/s。

222132该并联管路的压头损失为

22 hwSH1Q11550.80.31149m

5－58 水沿着长L＝1000m、直径D＝200mm的干管流过，管终端流量为Qz＝0.04m3/s，沿干管全长布置有彼此相距l＝50m的出流点，各出流点的流量均为q＝2×103m3/s。已知沿程阻力系数λ＝0.025，局部阻力不计。(1)求沿程损失hf；(2)若全部流量均通过干管流过，求所需要的压头H1；(3)若全部流量均通过各出流点流出，求所需要的压头H2。

-

-已已知知：：L=1000m，D=200mm，QZ=0.04m3/s，l=50m，q=2×103m3/s，λ=0.025。

解解析析：：(1) 途泄流量为 QtL1000q0.0020.04m3/s l503总流量为 QQtQz0.040.040.08m/s

l长的管段数为 n SHiL100020。设l长管段的阻抗为SH1，则 l508l80.02550323.1s2/m5 2525dg3.140.29.8122那么，第一管段的压头损失为hw1SHiQ；第二管段的压头损失为hw2SHi(Qq)；第22三管段的压头损失为hw3SHi(Q2q)；第i管段的压头损失为hwiSHi[Q(i1)q]；

所以，干管的总压头损失为

1hfhwhwiSHi[Q(i1)q]2SHi[n(Qq)2n(n1)(2n1)q2n(n1)(Qq)q]6i11323.1[20(0.080.002)22021410.00222021(0.080.002)0.002]624.9m

(2) 若全部流量均通过干管流过时，所需要的压头为

22 H1hwSHQ20323.10.0841.36m

n(3) 当全部流量均通过各出流点流出时，q0.004m/s，所需要的压头为

31H2hwhwiSHi[Q(i1)q]2SHi[n(Qq)2n(n1)(2n1)q2n(n1)(Qq)q]6i11323.1[20(0.080.004)22021410.00422021(0.080.004)0.004]614.84m

n第六章 粘性流体绕物体的流动

226－1 已知粘性流体的速度场为u5xyi3xyzj8xzk(m/s)。流体的动力粘度μ＝

0.144Pa·s，在点(2，4，－6)处σyy＝－100N/m2，试求该点处其它的法向应力和切向应力。

22已已知知：：ux5xy，uy3xyz，uz8xz，μ＝0.144Pa·s，σyy＝－100N/m2。

解解析析：：在点(2，4，－6)处，有

uuxu10xy80，y3xz36，z16xz192； xzy，

ux5x220y，

ux0zuyx3yz72，

uyz3xy24，

uz8z2288， xuuuzu0；divuxyz8036192236s1 yxyz由

yyp2uyuy2div，可得 y3 p2

22则 divyy20.144(36)0.14423610066.976Pa，

y33xxp2

ux22divu66.97620.144800.14423666.592Pax33zzp2

uz22divu66.97620.1441920.14423634.336Paz33 xyyx(uyxux)0.144(7220)7.488Pa y yzzy(uzuy)0.144(024)3.456Pa yzuxuz)0.144(0288)41.472Pa zxdpk的情形下在两固定的平行平板间作稳定层流流dx zxxz(6－2 两种流体在压力梯度为动，试导出其速度分布式。

已已知知：：dpk。 dx解解析析：：建立坐标系，将坐标原点放置在两种液体的分界面上，x轴与流动方向相同，y轴垂直于平行平板。根据题意，两流体在y轴和z轴方向的速度分量都为零，即uy＝uz＝0。由连续性方程

知

ux＝0，即速度分量ux与x坐标无关。另外，由式(6－6)可以看出，在质量力忽略不计xpp0，0，因此，压力p只是x的函数，于是式(6－6)可简化为 yz时，有

dux2ux2ux1p (2)

dxyz22ux2ux由于流体是在两无限大平行平板间作稳定层流流动，因此上式中与项相比22zy可以忽略不计，同时，由于

uxdux＝0，那么0，于是上式可进一步简化为 dd2ux1dp 2dxdyd2ux11dpk对于第一种流体有 1dx1dy2d2ux21dpk对于第二种流体有 22dx2dy积分以上两式，得

dux1dux2kkyC1； yC1 dy1dy2再次积分以上两式得

ux1k2k2 yC1yC2； ux2yC1yC22122根据边界条件确定四个积分常数：

； ① 当y＝0时，ux1ux2，得 C2C2② 当y＝0时，12，即1dux1du2； 2x2，得 C11C1dydykb2③ 当y＝b时，ux10，得 C2C1b；

21kb2b。 ④ 当y＝b时，ux10，得 C2C122将以上所得各式联立，解得

kb21kb21kb2 C1； C1； C2C2

2221212121于是得到两种流体的速度分布式分别为

k2kb21kb2 ux1； yy21212121 ux2kb21kb2 yy22222121k26－3 密度为ρ、动力粘度为μ的薄液层在重力的作用下沿倾斜平面向下作等速层流流动，试证明：

(1) 流速分布为 ugsin(H2h2) 2(2) 单位宽度流量为 q已已知知：：ρ，μ，H，h，θ。

gsin3H 3解解析析：：(1) 建立坐标系如图所示，液层厚度方向h为自变量，由于液层的流动为不可压缩一维稳定层流流动，则N－S方程可简化为

2u gsin0 2h将上式整理后，两次积分得

ug2hsinC1hC2 2u0，得 C10； h由边界条件：当h＝0时，

当h＝H时，u＝0，得 C2g2Hsin。 2所以流速分布为 u(2) 单位宽度流量为

qgsin(H2h2) 2H0udhH0gsingsin3(H2h2)dhH 236－4 一平行于固定底面0－0的平板，面积为A＝0.1m2，以衡速u＝0.4m/s被拖曳移动，

平板与底面间有上下两层油液，上层油液的深度为h1＝0.8mm，粘度μ1＝0.142N·s/m2，下层油液的深度为h2＝1.2mm，粘度μ2＝0.235N·s/m2，求所需要的拖曳力T。

已已知知：：A＝0.1m2，u＝0.4m/s，h1＝0.8mm，h2＝1.2mm，μ1＝0.142N·s/m2，μ2＝0.235N·s/m2。 解解析析一一：：建立坐标系如图所示，由于两层油液均作不可压缩一维稳定层流流动，则N－S方程可简化为

2u 0 2z将上式两次积分后，得

uCzC

对两层油液的速度分布可分别写为

u1C1zC1 

u2C2zC20； 由边界条件：当z＝0时，u20，得 C2C2h2； 当z＝h2时，u1＝u2，得 C1h2C1； 当z＝h1＋h2时，u1＝u，得 uC1(h1h2)C1 当z＝h2时，12，即1将以上四式联立，可解得 C1u1u22，得 1C12C2。 zzu2u(12)h2u10 ； C1； C2； C2h12h21h12h21h12h21代入上述速度分布式，得

u2u(12)h2zh12h21h12h21 

u1u2zh12h21u1那么，拖曳平板所需要的力为

T1Au112Au0.1420.2350.10.4|zh1h23.724N 3zh12h21(0.80.2351.20.142)10解解析析二二：：设两油液分界面处的速度为u*，由于在题设条件下，油液在z方向的速度分布为线性分布，且在垂直于板面方向的粘性切应力为一常数，即0。因此有

1uu*u02* h1h2u1h20.40.1421.2103所以 u*0.19m/s 3h12h21(0.80.2351.20.142)10那么，拖曳平板所需要的力为 T2Au*0.190.2350.13.724N h21.21036－5 粘度μ＝0.05Pa·s的油在正圆环缝中流动，已知环缝内外半径分别为r1＝10mm，r2＝20mm，若外壁的切应力为40N/m2，试求(1)每米长环缝的压力降；(2)每秒流量；(3)流体作用在10m长内壁上的轴向力。

已已知知：：r1＝10mm，r2＝20mm，μ＝0.05Pa·s，w2＝40N/m2。 解解析析：：建立坐标系，由于uruθ0，由连续性方程可知，－S方程可简化为

ux0；忽略质量力，Nxddux1dpd2uxduxdp(r)r (2) 或写成 drdrdxdxrdrdr对上式进行两次积分上式，得

ux1dp2rC1lnrC2

4dx根据边界条件确定积分常数： ① 当r＝r1时，ux0，得 C21dp2r1C1lnr1；

4dx1dp2r2C1lnr2。

4dx② 当r＝r2时，ux0，得 C21dp(r22lnr1r12lnr2)1dp(r12r22)联立以上两式，得 C1； C2

r24dx4dxln(r2)ln()r1r1代入上述速度分布式，得

Rm22r22r12r21dp22r22r12r2 ux[rr2ln()][r2rln()]

r2r24dxr4rln()ln()r1r1流量计算式为

Qr2r11dpr222r22r12r2ux2rdr[rr2ln()]2rdr

r24dxr1rln()r1

dp44(r22r12)2Rm44(r22r12)2[r2r1][r2r1]

rr8dx8ln(2)ln(2)r1r1dp，为单位体积流体在单位管长内流动时所造成的机械能损失，亦即单位dx式中：Rm管长上的压力损失或压力降，称为压力坡度或称比摩阻。

摩擦切应力分布式为

dux(r12r22)11dp1dp(r12r22)11dp r[r]

rrdr2dx4dxr2dxrln(2)2ln(2)r1r1(1) 当r＝r2时，w2＝40N/m2，代入上式得到每米长环缝的压力降为

(r12r22)1dpRm2/[r2]r2r2dx2ln()r1 2408714.8Pa/m[0.02(0.0120.022)/2ln(0.02/0.01)0.02](2) 每秒钟的流量为

Rm44(r22r12)2Q[r2r1]r8ln(2)r13.148714.8(0.0220.012)244[0.020.01]1.38103m3/s80.05ln(0.02/0.01)

(3) 流体作用在10m长内壁上的轴向力为

(r12r22)11dpFw1A1[r1]2r1Lr2r12dx2ln()r18714.80.0120.022[0.01]23.140.011031.85N22ln(0.02/0.01)0.016－6 设平行流流过平板时的附面层速度分布为uu

y(2y)2，试导出附面层厚度δ

与x的关系式，并求平板一面上的阻力。平板长为L，宽为B。流动为不可压缩稳定流动。

已已知知：：L，B，uuy(2y)

。 2解解析析：：根据题意，对于层流附面层，由牛顿内摩擦定律得出平板板面上粘性摩擦应力为 w(①

附面层的动量损失厚度δ2为

u2uu)y0[4y] y02y2

2δ0δuu(1)dyuuy(2y)[02][1y(2y)2]dy215

将以上两式代入动量积分方程(6－30)式，得到

2u2u2d 15dx上式整理后为 d15udx

对上式积分得

1215xC 2u由边界条件：x＝0，δ＝0，得C＝0。 由此得到附面层的厚度δ为

5.48x5.48xRex2 5.48uRexx1②

把②式代入①式，得到壁面上的粘性切应力为

w2u2uu220.365u0.365uRex2 5.48xux1对于长度为L，宽度为B的平板一侧面上的总摩擦阻力为

1212FfwBdx0.365Bu0L3L0xdx0.73BuL0.73BLuReL

uysin()，试用动量积分方程式推导附面u2326－7 设平板层流附面层的速度分布为

层厚度δ、壁面切应力τw和摩阻系数Cf的表达式。

已已知知：：uysin() u2解解析析：：对于层流附面层，根据牛顿内摩擦定律得到平板板面上粘性摩擦应力为 w(①

附面层的动量损失厚度δ2为 2uxuuy)y0[cos()]y0 y222δ0δuuyy4(1)dysin()[1sin()]dy0.137

0uu222将以上两式代入动量积分方程(6－30)式，得到

u42du

22dx2上式整理后为 ddx

4u122对上式积分得 xC

24u由边界条件：x＝0，δ＝0，得C＝0。 由此得到附面层的厚度δ为

4.79x4.79xRex2 4.79uRexx1②

把②式代入①式，得到壁面上的粘性切应力为

1uuu220.328u0.328uRex2 w224.79xux对于长度为L，宽度为B的平板一侧面上的总摩擦阻力为

1212FfwBdx0.328Bu0L3L0xdx0.656BuL0.656BLuReL

1232平板的总摩擦阻力系数为

0.656BLuReL Cf1.312ReL2

1212uBLuBL22Ff216－8 一长为2m、宽为0.4m的平板，以u∞＝5m/s的速度在20℃的水(ν＝106m2/s，ρ

－

＝998.2kg/m3)中运动，若边界层内的速度分布为uxu()，边界层厚度δ与沿板长方

y111向坐标x的关系为0.216(u)x，试求平板上的总阻力。

1767－

已已知知：：L＝2m，B＝0.4m，u∞＝5m/s，ν＝106m2/s，ρ＝998.2kg/m3。 解解析析：：(1) 根据冯·卡门动量积分方程，对于平板有

uxdδux2d2(1)dyu wu dx0uudx2令y，并将 uxu() 代入上式，得

y111

2uδ0δy1uxuy11(1x)dy()11[1()11]dy11(111)d

00uu156671111将0.216()x 代入上式，得 20.0152(1117u)x

1767d2所以 0.013()7x7

dxud227代入动量积分方程，得 wu0.013u()x7

dxu211(2) 将w沿整个板面积分，可得平板上的总阻力计算式为

FfBwdx0.013u(0L2u)Bxdx017L17

20.0152uBL(uL2)0.0152uBLReL17

17(3) 将已知参数代入上式，且知 ReL Ff0.0152uBLReL217uL527，得平板上的总阻力为 10610170.0152998.2520.42(107)30.35N

6－9 一块长50cm、宽15cm的光滑平板置于流速为60cm/s的油中，已知油的比重为0.925，运动粘度为0.79cm2/s，试求光滑平板一面上的摩擦阻力。

已已知知：：L＝50cm，B＝15cm，u∞＝60cm/s，S＝0.925，ν＝0.79cm2/s。 解解析析：：平板末端处的流动雷诺数为 ReLuL0.60.53797.55105，整块平板上均为层流附面层。 40.7910则平板一面上的摩擦阻力为

1212Ff0.664BLuReL0.6640.150.59250.63797.5平板前缘x＝0.6m处附面层的厚度δ和壁面切应力τw。

－

已已知知：：u∞＝12m/s，x＝0.6m，ν＝15×106m2/s，ρ＝1.2kg/m3。

220.269N

6－10 空气以12m/s的速度流过一块顺流置放的光滑平板，如当地气温为20℃，求离

解解析析：：x＝0.6m处的流动雷诺数为 Rex板上的附面层为层流附面层。

(1) x＝0.6m处附面层的厚度为

12ux120.64.81055105，即平61510 x5.0xRex5.00.6(4.810)(2) x＝0.6m处壁面切应力为

125120.0043m4.3mm

12 w0.332uRex0.3321.212(4.810)2250.0828N/m2

6－11 空气以15m/s的速度流过一块长20m、宽10m的光滑平板，空气温度为20℃，如转变点的临界雷诺数采用Rexc＝5×105，求：(1)层流附面层的长度；(2)层流附面层末端的厚度和壁面切应力；(3)平板末端附面层的厚度和壁面切应力；(4)板面的总摩擦阻力。

－

已已知知：：L＝20m，B＝10m，u∞＝15m/s，ν＝15×106m2/s，ρ＝1.2kg/m3。

解解析析：：(1) 取Rexc＝5×105。由 Rexcuxc5105，得

Rexc510515106 xc0.5m

u15即层流附面层的长度为0.5m，平板上的附面层主要为紊流附面层。

(2) 计算附面层的厚度

在x＝0.5m处为层流附面层；在x＝20m处为紊流附面层。则 0.5m151060.55.845.844103m4mm

u15x

20m1510650.382()x0.382()200.265m

ux1520151(3) 计算摩擦切应力

在x＝0.5m和x＝20m处板面上的摩擦切应力分别为 w0.5m＝0.343u2151060.3431.2150.131N/m2 ux150.52 w20m＝0.0297u25615100.02971.21550.278N/m2 ux15202(4) 计算总摩擦阻力 平板末端的雷诺数为 ReL混合附面层的总摩阻系数为 CfMuL15207 210615100.07417000.074170032.4810 0.270.27ReL(210)ReL210板面总摩擦阻力为 FfMCfM121uBL2.481031.2152102066.96N 226－12 在15℃的静水中，以5.0m/s的速度拖曳一块长20m、宽3m的薄板，求所需要的拖曳力。

－

已已知知：：L＝20m，B＝3m，u∞＝5.0m/s，ν＝1.14×106m2/s，ρ＝1000kg/m3。

解解析析：：先确定临界转变点的位置，取Rexc＝5×105。由 Rexcuxc5105，得

Rexc51051.14106 xc0.114m

u5.0可以认为整块薄板上的附面层均为紊流附面层。平板末端的流动雷诺数为

ReLuL5.0208.77107 61.141015175那么，拖曳薄板所需要的力为

2F2Ff20.037BLuReL

20.03732010005.02(8.7710)2862.35N6－13 有一长为25m、宽为10m的平底驳船，吃水深度为1.8m，在水中以9.0km/h的速度行驶，水温为20℃，试估算克服其摩擦阻力所需的功率。

－

已 已知知：：L＝25m，B＝(10＋1.8×2)m，u∞＝9.0km/h，ν＝1.0×106m2/s，ρ＝1000kg/m3。

解解析析：：先确定临界转变点的位置，取Rexc＝5×105。由 Rexcuxc5105，得

Rexc51051.0106 xc0.2m

u9000/3600可以认为平底驳船的外侧面上的附面层均为紊流附面层。驳船末端的流动雷诺数为

ReLuL9000256.25107 636001.0103151那么，克服驳船摩擦阻力所需要的功率为

NFfu0.037BLuReL9000370.037(101.82)251000()(6.2510)55.424kW3600

6－14 有一流线型赛车，驱动功率为350kW，迎风面积为1.5m2，如绕流阻力系数为0.3，当地空气温度为25℃，不计车轮与地面的摩擦力。试估算下列情况下赛车所能达到的最大速度：(1)空气静止；(2)迎面风速为10km/h。

已已知知：：N＝350kW，A＝1.5m2，CD＝0.3，ρ＝1.18kg/m3，u0＝10km/h。 解解析析：：(1) 当空气静止时，由NFDumCD为

32N2350103109.65m/s um3CDA0.31.181.51213umAumCDumA，得赛车速度22(2) 当迎面风速u0＝10km/h时，由NFDumCD21(u0um)2Aum，可得 22N2350103 um(u0um)1.3183106

CDA0.31.181.5通过试算，得迎面风速为10km/h时的赛车速度为 um107.8m/s。

6－15 有一圆柱形烟囱高为28m，直径为0.6m，水平风速为15m/s，空气温度为0℃，求烟囱所受的水平推力。

－

已已知知：：H＝28m，d＝0.6m，u∞＝15m/s，ρ＝1.293kg/m3，ν＝13.2×106m2/s。

解解析析：：圆柱形烟囱的绕流雷诺数为 Reud150.65 6.8210613.210由图6－16查得其绕流阻力系数为CD＝1.2，因此，烟囱所受的水平推力为 FDCD121uA1.21.293152280.62932.5N 226－16 高压电缆线的直径为10mm，两支撑点距离为70m，风速为20m/s，气温为10℃。试求风作用于高压电缆线上的作用力。

－

已已知知：：d＝10mm，L＝70m，u∞＝20m/s，ρ＝1.25kg/m3，ν＝14×106m2/s。

解解析析：：电缆线的绕流雷诺数为 Reud200.011.43104 61410由图6－16查得其绕流阻力系数为CD＝1.2，因此，风作用于高压电缆线上的作用力为 FDCD121uA1.21.25202700.01210N 226－17 有一水塔，上部为直径12m的球体，下部为高30m、直径2.5m的圆柱体，如当地气温为20℃，最大风速为28m/s，求水塔底部所受的最大弯矩。

－

已已知知：：H＝30m，d1＝2.5m，d2＝12m，u∞＝28m/s，ρ＝1.2kg/m3，ν＝15×106m2/s。

解解析析：：圆柱体及球体的绕流雷诺数分别为

282.54.67106 61510ud28127 Re22 2.241061510 Re1ud1由图6－16和6－19查得的绕流阻力系数分别为CD1＝0.36，CD2＝0.2。 圆柱体及球体所受的水平推力分别为 FD1CD1 FD2121uA10.361.2282302.512.7kN 221211CD2uA20.21.228212210.6kN

224水塔底部所受到的最大弯矩为

11MFD1HFD2(Hd2)22

1112.73010.6(3012)572.1kNm226－18 有一直径为0.8m的氢气球，在25℃的空气浮力和5.0m/s速度的风力作用下，观察到系气球的绳子与水平面成45°角，若不计绳子的重量，求氢气球的绕流阻力系数。

已已知知：：d＝0.8m，u∞＝5.0m/s，θ＝45°，ρ＝1.18kg/m3。

解解析析：：忽略氢气球自身的重量，受力图如图所示。氢气球受25℃空气的浮力为

131da3.140.831.189.813.1N 661212由于 FDCDudFBctg

24 FB得氢气球的绕流阻力系数为

8FBctg83.1ctg45 CD0.42 2d2u3.140.821.185.026－19 直径为2mm的气泡在20℃清水中上浮的最大速度是多少？

－

已已知知：：d＝2mm，ρ＝1000kg/m3，ν＝1.0×106m2/s。

解解析析：：先假定Re＝10～1000，运用阿连公式(6－68)，注意气泡的密度ρs可忽略不计，得

uf1313d(1.010)21030.2m/s ufd60.22103400，说明上述假定合理，计算正确。 验证雷诺数：Re61.0106－20 直径为12mm的小球在密度为920kg/m3、粘度为0.034Pa·s的油中以3.5cm/s的速度上浮，求小球的比重。

已已知知：：d＝12mm，ρ＝920kg/m3，uf＝3.5cm/s，μ＝0.034Pa·s。 解解析析：：先小球的绕流雷诺数为

Reufd9200.0350.01211.36 0.034运用阿连公式(6－68)，注意到小球的密度ρs小于油液的密度ρ，得

u0.03520.0342 s[1(f)2()2]920[1()()]892.14kg/m3

d0.012920那么，小球的比重为 Ss3131s892.140.892 HO100026－21 煤粉炉炉膛中烟气的密度为0.23kg/m3，运动粘度为240×106m2/s，煤粒的密度为1300kg/m3，若上升气流的速度为0.5m/s，问粒径为0.1mm的煤粉颗粒能否被气流带走？

－

已已知知：：d＝0.1mm，ρ＝0.23kg/m3，ν＝240×106m2/s，ρs＝1300kg/m3，u∞＝0.5m/s。

－

解解析析：：先假定煤粉颗粒处于悬浮状态，其绕流雷诺数为 Reud0.50.11030.211

240106由斯托克斯公式(6－70)，得煤粉颗粒的自由沉降速度为

sgd213009.810.12106 uf0.128m/su0.5m/s

18180.23240106说明粒径为0.1mm的煤粉颗粒能够被气流带走。

6－22 球形尘粒在20℃的空气中等速下沉，试求能按斯托克斯公式计算的尘粒最大直径及其自由沉降速度。尘粒的比重为2.5。

－

已已知知：：ρ＝1.2kg/m3，ν＝15×106m2/s，S＝2.5。

2gds解解析析：：由Re，整理得尘粒最大直1，得uf，代入(6－70)式ufd18ufd径为

1823181.215210125.83105m58.3μm d33sg2.5109.81尘粒的自由沉降速度为

151060.257m/s uf5d5.83106－23 竖井式磨煤机中空气的流速为2.0m/s，运动粘度为20×106m2/s，密度为1.02kg/m3，煤粒的密度1100kg/m3，试求此上升气流能带出的最大煤粉粒径。

－

已已知知：：u∞＝2.0m/s，ν＝20×106m2/s，ρ＝1.02kg/m3，ρs＝1100kg/m3。

－

解解析析：：先假定Re＜1，令uf＝u∞，由斯托克斯公式(6－70)，得

18u181.02201062.02.61104m261μm dsg11009.81验算雷诺数：Reud2.02.61104261 62010与假定的雷诺数不符，需重新假定流动区域。现假定Re＝10～1000，改用阿连公式(6－71)，得

121s211006 du()332.0()3(2010)35.16104m516μm

1.02验算雷诺数：Reud2.05.1610451.6 62010与假定的雷诺数相符，所以，该上升气流能带出的最大煤粉粒径为516μm。

6－24 在煤粉炉的炉膛中，烟气最大上升速度为0.65m/s，烟气的平均温度为1100℃，该温度下烟气的密度为0.26kg/m3，运动粘度为230×106m2/s，煤粒的密度为1100kg/m3， 问炉膛内能被烟气带走的煤粉最大颗粒直径是多少？

－

已已知知：：u∞＝0.65m/s，ν＝230×106m2/s，ρ＝0.26kg/m3，ρm＝1100kg/m3。

－

解解析析：：先假定Re＜1，令uf＝u∞，由斯托克斯公式(6－70)，得

18u180.262301060.652.55104m255μm dsg11009.81验算雷诺数：Reud0.652.551040.721

230106与假定的雷诺数相符，所以，炉膛内能被烟气带走的煤粉最大颗粒直径为255μm。

第七章 相似原理与因次分析

7－1 20℃的空气在直径为600 mm的光滑风管中以8 m/s的速度运动，现用直径为60 mm的光滑水管进行模拟试验，为了保证动力相似，水管中的流速应为多大？若在水管中测得压力降为450 mmH2O，那么在原型风管中将产生多大的压力降？

－已已知知：：da＝600mm，ua＝8m/s，ρa＝1.2kg/m3，νa＝15.0×106m2/s，dw＝60mm，ρw＝

998.2kg/m3，νw＝1.0×106m2/s；Δpw＝450mmH2O。

解解析析：：(1) 根据粘性力相似，有Rew＝Rea，即 则水管中的流速应为

－

uadaauwdww

daw6001.0106 uwua()()8()()5.33m/s 6dwa6015.010(2) 根据压力相似，有Eua＝Euw，即 则在原型风管中将产生的压力降为 pa(papw 2aua2wuwaua21.282)()pw()()4509.8111.95Pa wuw998.25.33－

7－2 用20℃的空气进行烟气余热回收装置的冷态模型试验，几何相似倍数为1/5，已知实际装置中烟气的运动粘度为248×106m2/s，流速为2.5m/s，问模型中空气流速为多大时，才能保证流动相似？

－－

已已知知：：Cl＝1/5，ν＝248×106m2/s，νm＝15×106m2/s，u＝2.5m/s。

解解析析：：根据雷诺数相等，即

udumdmm，得

dm15106 um()()u5()2.50.76m/s 6dm24810只有模型中空气的流速为0.76m/s时，才能保证流动相似。

7－3 用直径为25mm的水管模拟输油管道，已知输油管直径500mm，管长100m，输油量为0.1m3/s，油的运动粘度为150×106m2/s，水的运动粘度为1.0×106m2/s，试求：

(1) 模型管道的长度和模型的流量；

(2) 若在模型上测得压差为2.5cm水柱，输油管上的压差是多少？

－

已已知知：：d＝500mm，dm＝25mm，l＝100m，Q＝0.1m3/s，ν＝150×106m2/s，νm＝1.0×10－6

－

－

m2/s；(Δp/γ)m＝2.5cmH2O。 解解析析：：(1) 根据几何相似

dl，得 dmlm lm(dm25)l1005.0m d500udumdm，或

(2) 由雷诺数相等，即

mQQm，得 dmdmdmm251.010653)()Q0.13.3310m/s Qm(6d500150104pmp4Qpd4pmdm(3) 由欧拉数相等，即，注意到u，可写成 ，222u2mumd2QmQm则

pQ2dm4pm0.12254()()()()0.0251.41mH2O Qmdm3.331055007－4 用同一管路通过空气进行水管阀门的局部阻力系数测定，水和空气的温度均为20℃，管路直径为50mm，水速为2.5m/s时，风速应为多大？通过空气时测得的压差应扩大多少倍方可与通过水时的压差相同？

－

已已知知：：d＝dm＝50mm，u＝2.5m/s，ρ＝1000kg/m3，ρm＝1.2kg/m3，ν＝1.0×106m2/s，νm

＝νa＝15×106m2/s。

－

解解析析：：(1) 为保证粘性力相似，雷诺数必定相等，即

udumdmm，得

dm15106 um()()u1()2.537.5m/s 6dm1.010(2) 根据欧拉数相等，即

pmp，得 2u2mum

pmΔp(mum21.237.52)()()()0.27 u10002.5那么 n13.7倍 0.27即通过空气时测得的压差应扩大3.7倍，方可与通过水时的压差相同。

7－5 为研究输水管道上直径600mm阀门的阻力特性，采用直径300mm，几何相似的阀门用气流做模型实验，已知输水管道的流量为0.283m3/s，水的运动粘度为1.0×106m2/s，空气的运动粘度为15×106m2/s，试求模型中空气的流量。

－－

已 已知知：：d＝600mm，dm＝300mm，Q＝0.283m3/s，ν＝1.0×106m2/s，νm＝νa＝15×106m2/s。

－

－

解解析析：：为了保证动力相似，雷诺数必定相等，即

udumdmm，或写成

QQm。 dmdmdmm30015106)()Q()()0.2832.12m3/s 由此得到 Qm(6d6001.0107－6 为研究风对高层建筑物的影响，在风洞中进行模型实验，当风速为8m/s时，测得迎风面压力为40N/m2，背风面压力为－24N/m2。若温度不变，风速增至10m/s时，迎风面和背风面的压力将为多少？

已已知知：：u1＝8m/s，u2＝10m/s，ρ1＝ρ2，p1，迎＝40N/m2，p1，背＝－24N/m2。 解解析析：：根据欧拉准数相等，即

p1p2，得 21u122u2 p2，迎(2u2210)()p1，迎1()24062.5N/m2 1u182u2210)()p1，背1()2(24)37.5N/m2 1u18 p2，背(7－7 已知汽车高为1.5m，行车速度为108km/h，拟在风洞中进行动力特性实验，风洞风速为45m/s，测得模型车的阻力为1.50kN，试求模型车的高度以及原型车受到的阻力。

已已知知：：h＝1.5m，u＝108km/h＝30m/s，um＝45m/s，ρ＝ρm，ν＝νm，Fm＝1.50kN。 解解析析：：(1) 根据雷诺数相等，即

uhumhmm，得

hm(um30)()h()11.51.0m um45FmF，得 2222uhmumhm(2) 根据牛顿准数相等，即

F(u2h2301.5)()()F1()2()21.501.50kN mumhm451.07－8 直径为0.3m的管道中水的流速为1.0m/s，某段压降为70kN/m2，现用几何相似倍数为1/3的小型风管作模型试验，空气和水的温度均为20℃，两管流动均在水力光滑区。求：(1)模型中的风速；(2)模型相应管段的压力降。

已已知知：：Cl＝1/3，d＝0.3m，u＝1.0m/s，Δp＝70kN/m2，ρ＝1000kg/m3，ρm＝1.20kg/m3，

－－

ν＝1.0×106m2/s，νm＝15×106m2/s。

解解析析：：(1) 根据雷诺数相等，即

udumdmm，得

dm15106 um()()u3()1.045m/s 6dm1.010(2) 根据欧拉准数相等，即

pmp，得 22umum

pm(mum21.245)()p()()270170.1kN/m2 u10001.07－9 模型水管的出口喷嘴直径为50mm，喷射流量为15L/s，模型喷嘴的受力为100N，对于直径扩大10倍的原型风管喷嘴，在流量10000m3/h时，其受力值为多少？设水和空气的温度均为20℃。

已Cl＝1/10，已知知：：dm＝50mm，Qm＝15L/s，Q＝10000m3/h，ρm＝1000kg/m3，ρ＝1.20kg/m3，

－－

νm＝1.0×106m2/s，ν＝15×106m2/s，Fm＝100N。

解解析析：：根据牛顿准数相等，即

FmF4Qu，注意到，则有22222udmumdmd2Fd2Fmdm。 22QmQm由此可得到

F(Q2dm21.2100005022)()()Fm()()()10041.2N 3mQmd10003600151010507－10 防浪堤模型实验，几何相似倍数为1/40，测得浪的压力为130N，试求作用在原型防浪堤上浪的压力。

已已知知：：Cl＝1/40，Fm＝130N。

2FuF解解析析：：将牛顿准数Ne与付鲁德准数Fr进行组合，得 NeFr 223ulglgl由组合后的准数相等，即

FmF，得 33glmglm F(l3)()Fm14031308320kN mlm7－11 贮水池放水模型实验，已知模型几何相似倍数为1/225，开闸后10min水全部放空，试求放空贮水池所需时间。

已已知知：：Cl＝1/225，τm＝10min。

222St(u/l)g解2解析析：：将斯特罗哈准数St与付鲁德准数Fr进行组合，得 Frlu/gl2g2gm由组合后的准数相等，即 ，得 llm l/lmm22510150min

7－12 溢水堰模型的几何相似倍数为1/20，模型中流量为300L/s，堰所受推力为300N，试求原型堰的流量和所受的推力。

已已知知：：Cl＝1/20，ρm＝ρ，Qm＝300L/s，Fm＝300N。

2222uQQuQmm解解析析：：(1) 根据付鲁德准数相等，即，注意到u，则有55。 Aglglmglglml由此可得 Q()2Qm2020.3536.7m2/s

lm55Fu2F(2) 将牛顿准数Ne与付鲁德准数Fr进行组合，得 NeFr u2l2glgl3根据组合后的准数相等，即

FmF，得 3gl3mglm F(l3)()Fm12033002.4106N2400kN mlm－

7－13 油池通过直径d＝250mm的管路输送Q＝140L/s的石油，油的粘度为75×10

6m2/s，现在几何相似倍数为

1/5的模型中研究避免油面发生旋涡而卷入空气的最小油深hmin，

试验应保证Re数和Fr数都相等。问：(1)模型中液体的流量和粘度应为多少？(2)模型中观察到最小液深hmin为60mm时，原型中的最小油深hmin应为多少?

－

已已知知：：d＝250mm，Q＝140L/s，ν＝75×106m2/s，Cl＝1/5，hmin，m＝60mm。

解解析析：：(1) 试验应保证Re数和Fr数都相等，即

umdmm2umu2，，并注意gdmgdud到uQmmdmQm2dm54Q()()()() ，得 ；

d2QdQd联立以上两式，解得

d1 Qm(m)2Q()21402.5L/s

d5d1662 m(m)2()275106.710m/s

d5(2) 根据几何相似，可得 hmin(3355d)hmin，m560300mm dm7－14 用水试验如图所示的管嘴，模型管嘴直径dm＝30mm，当Hm＝50m时，得流量Qm＝18×103m3/s，出口射流的平均流速ucm＝30m/s，为保证管嘴流量Q＝0.1m3/s及出口射流的平均流速uc＝60m/s，问原型管嘴直径d及水头H应为多少？已知试验在自动模化区(阻力平方区)。

－

已已知知：：dm＝30mm，Hm＝50m，ucm＝30m/s，uc＝60m/s，Qm＝18×103m3/s，Q＝0.1m3/s。

－

解解析析：：已知试验在自动模化区(阻力平方区)，如果流体通过模型管嘴与通过原型管嘴的流动相似，那么，两者的速度系数和流量系数应分别相等，即m，m。则有

ucm2gHmQmuc2gH；

Q1d22gH412dm2gHm4

所以 HHm(uc260)50()2200m ucm301111Q2Hm40.15042 ddm()()0.03()()0.05m50mm

QmH200181037－15 溢流坝泄流模型实验，几何相似倍数为1/60，溢流坝的泄流量为500m3/s，试求：(1)模型的泄流量；(2)模型的堰上水头Hm＝6cm，原型对应的堰上水头是多少？

已已知知：：Cl＝1/60，Q＝500m3/s，Hm＝6cm，

22224QuQuQ解解析析：：(1) 由付鲁德准数相等，即，可写成 5m。 m，注意到u25dglglmglglml13由此得 Qm(m)2Q()25000.0179m/s

l60(2) 根据几何相似，即

55Hl，得 Hmlm HlH600.063.6m lm－

7－16 用几何相似倍数为1/10的模型试验炮弹的空气动力特性，已知炮弹的飞行速度为1000m/s，空气温度为40℃，空气的动力粘度为19.2×106Pa·s；模型空气温度为10℃，空气的动力粘度为17.8×106Pa·s，试求满足粘性力和弹性力相似，模型的风速和压力。

－

已已知知：：Cl＝1/10，u＝1000m/s，T＝40℃＝313K，Tm＝10℃＝283K，μ＝19.2×106Pa·s，－

μm＝17.8×106Pa·s；设p＝105 N/m2。

－

解解析析：：(1) 根据马赫数相等，即可得

uumuum。由此，注意到akRT，则有aamTTm umTm283u1000950.87m/s T313(2) 根据雷诺数相等，即由

ulmumlmpulpmumlm，注意到pRT，则有。mTmTm此

得

到

mTmul17.81062831000552 pm()()()()p()()()10108.8210N/m6Tumlm313950.8719.2107－17 在风洞中进行超音速飞机的模型试验，模型的几何相似倍数为1/20，原型中大气温度为40℃，绝对压力为125kN/m2，飞机航速为360m/s，模型中空气温度为50℃，绝对压力为170kN/m2，为保证动力相似，求模型风速。若模型中实测阻力为125N，求原型飞机所受的阻力。

已已知知：：Cl＝1/20，T＝t＋273＝40＋273＝313K，p＝125kN/m2，u＝360m/s，Tm＝tm＋273＝50＋273＝323K，pm＝170kN/m2，FDm＝125N。

解解析析：：(1) 根据弹性力相似，有

umu，则得到 KRTKRTm umTm323u360365.7m/s T313(2) 根据阻力相似，并注意到气体状态方程，有 由

FDFDmTFDTmFDm， 或写成 2222u2l2mumlmpu2l2pmumlm此

可

得

FD(pTmu2l21253233602)()()()FDm()()()(20)212536766N pmTumlm170313365.77－18 车间长40m，宽20m，高8m，由直径为0.6m的风口送风，送风量为2.3m3/s，用几何相似倍数为1/5的模型实验，原型和模型的送风温度均为20℃，试求模型尺寸及送风量。(提示：模型用铸铁送风管，最低雷诺数60000时进入阻力平方区。)

－已已知知：：Cl＝1/5，d0＝0.6m，Q0＝2.3m3/s，ν＝νm＝15×106m2/s，Reb＝60000。

解解析析：：(1) 根据几何相似，即

dl，得 dmlm车间模型的长为 Lm(dm1)L408m d5车间模型的宽为 Bm(dm1)B204m d5dm1)H81.6m d5dm1)d00.60.12m d5车间模型的高为 Hm(模型送风口的直径为d0m((2) 根据雷诺数相等，即

udumdmm，或写为

QQm，由此得 dmdm Q0m(dmm1)()Q012.30.46m3/s d5但是，在Re＝60000时，进入阻力平方区(自动模化区)，所以不需要那么大的流量。 由RemQm60000，可得 Q0m60000151060.120.108m3/s。

mdm7－19 为研究温差射流运动的轨迹，用几何相似倍数为1/6的模型进行试验，已知原型风口的风速为22m/s，温差为15℃，模型风口的风速为8m/s，原型和模型周围空气的温度均为20℃，试求模型的温差应为多少？

已 已知知：：Cl＝1/6，u0＝22m/s，ΔT0＝15℃＝15K，u0,m＝8m/s，Ta＝Tam＝20℃＝293K。解解析析：：根据阿基米德准数相等，即

gR0T0gR0mT0m2，得模型风口的温差为 2TTu0u0maam

T0m(R0u0m2Tam8)()()T06()211511.9K11.9℃ R0mu0Ta227－20 为研究吸风口附近气流的运动，用几何相似倍数为1/10的模型实验，测得模型吸风口的流速为10m/s，距风口0.2m处轴线上流速为0.5m/s，原型吸风口的流速为18m/s，试求与模型相对应点的位置及该点的流速。

已已知知：：Cl＝1/10，u0,m＝10m/s，sm＝0.2m，umax,m＝0.5m/s，u0＝18m/s，ρ＝C。 解解析析：：(1) 根据几何相似，即

sl，得 smlm s(l)sm100.22.0m lm220u00mu0m(2) 根据动量守衡关系，有 ，考虑不可压缩流体ρ＝C，得 2u2mum umax(u018)umax，m0.50.9m/s u0m107－21 气力输送管道中气流的速度为10m/s，悬砂直径为0.03mm，密度为2500kg/m3，今在1：3的模型中进行空气动力性能试验，要求Re数相等和悬浮状况相似，求模型气流的速度和模型砂的粒径。设空气温度为20℃。

已已知知：：Cl＝1/3，u＝10m/s，ds＝0.03mm，ρs＝ρsm＝2500kg/m3，ρ＝ρm＝1.20kg/m3，ν

－

＝νm＝15×106m2/s。

解解析析：：(1) 根据雷诺准数相等，即

udumdmm，得模型气流的速度为

um(md)()u131030m/s dm(2) 将CDud24和Refs1，代入自由沉降速度计算公式(6－66)，可得到斯托克

Re斯自由沉降速度公式(6－67)的使用条件为

622(1.21510)ds2.62[]32.62[]35.83105m58.3μmg(s)1.29.81(25001.2)11

即ds＝0.03mm＜58.3μm，可以使用斯托克斯公式(6－67)计算砂粒的自由沉降速度。

为了保证悬浮状况相似，根据速度相似可知，砂粒的自由沉降速度与管道内的气流速度应相似，即

ufmum。将斯托克斯自由沉降速度公式(6－67)代入该式，得 ufu2dsmu 2m

uds则悬浮状态下模型砂的粒径为

dsmdsum300.030.052mm u107－22 已知文丘里流量计喉道流速u与流量计压力差Δp，主管直径d1、喉道直径d2，以及流体的密度ρ和运动粘度ν有关，试用瑞利法确定流速关系式。

已已知知：：uf(p,d1,d2,,) 解解析析：：up(Re,d2/d1) 7－23 假设自由落体的下落距离s与落体的质量m，重力加速度g及下落时间τ有关，

试用瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。

已已知知：：sf(m，g，)

2解解析析：：skg

7－24 试用瑞利法推导不可压缩流体中流线型潜没物体所受到的阻力表示式，已知阻力FD与物体的速度u、尺寸l、流体密度ρ和动力粘度μ有关。

已已知知：：FDf(u，l,，)

a22解解析析：：FDkReul

7－25 水泵的轴功率N与泵轴的转矩M、角速度ω有关，试用瑞利法导出轴功率表达式。

已已知知：：Nf(M,) 解解析析：：NkM

7－26 球形固体颗粒在流体中的自由沉降速度uf与颗粒的直径d、密度ρs以及流体的密度ρ、动力粘度μ，重力加速度g有关，试用π定理证明自由沉降速度关系式

uff(sufd，)gd 已已知知：：uff(,s,,g,d) 解解析析：：uff(sufd，)gd 7－27 作用在高速飞行炮弹上的阻力FD与弹体的飞行速度u、直径d、空气的密度ρ和动力粘度μ，以及音速a有关，试用π定理确定阻力的关系式

M)ud FD(Re，已已知知：：FDf(u，d，，，a) 解M)u2d2 解析析：：FD(Re，7－28 圆形孔口出流的流量Q与作用水头H、孔口直径d、水的密度ρ和动力粘度μ以及重力加速度g有关，试用瑞利法推导出孔口流量公式。

已已知知：：Qf(H，d，，，g)

ab解解析析：：QkReFr(22Hc)gdd2 d

题7－28图 题7－29图 以及重力加速度g有关，试用π定理推导流量公式。

已已知知：：Qf(H，b，，，g)

5Hgbb解解析析：：Q1(，)gH2(Re，Fr，)Hb2gH HH3212

7－29 已知矩形薄壁堰的溢流量Q与堰上水头H、堰宽b、水的密度ρ和动力粘度μ

7－30 在一定的速度范围内，流体绕过圆柱体，在圆柱体后部产生两侧交替释放的旋涡(卡门涡街)，已知旋涡释放频率n与来流速度u∞、流体的密度ρ和动力粘度μ，以及圆柱体的直径d有关，试用π定理证明n与其它量的关系为

uf(Re) nd已已知知：：f(n，u，，，d)0 解解析析：：uf(Re) nd7－31 流体流动的压力损失Δp取决于流体的速度u、密度ρ、动力粘度μ、弹性模量E、重力加速度g，以及一些线尺寸s、s1和s2。试确定其函数关系式。

已已知知：：pf(u,,,E,g,s,s1,s2) 解解析析：：s1s2pf(,,Re,Fr,M)

ssu27－32 两个同轴的柱形圆筒，外筒固定，内筒旋转，筒间充满油液，求内筒旋转所需力矩M的准数方程式。已知影响因素为旋转角速度ω，筒高H，筒的间隙δ，筒的直径d，流体的密度ρ和动力粘度μ。

已已知知：：Mf(,H,,d,,) 解解析析：：M2d5f(H ,,) 2ddd第八章 可压缩流体的流动

8－1 假定声音在完全气体中的传播过程为等温过程，试证其音速计算式为aTRT。 已已知知：：等温过程，T＝常数。

解解析析：：根据连续性方程和动量方程可得 adp d将完全气体状态方程pRT代入上式，即得 aTRT。

8－2 重量为2.5kN的氧气，温度从30℃增加至80℃，求其焓的增加值。

已 已知知：：W＝2.5kN，T1＝30℃＝303K，T2＝80℃＝253K，k＝1.395，R＝259.82J/kg·K。解解析析：：单位质量的氧气，温度从30℃增加至80℃的焓增为

kR1.395259.82(T2T1)(353303)45879.6J/kg k11.39512500总焓增为 Imi45879.61.1692107J11692kJ

9.81 iCpT8－3 炮弹在15℃的大气中以950m/s的速度射出，求它的马赫数和马赫角。 已已知知：：t＝15℃，T＝288K，u＝950m/s，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：炮弹飞行的马赫数为 Mu9502.793 kRT1.4287288马赫角为

sin111sin121 M2.7938－4 在海拔高度小于11km的范围内，大气温度随高度的变化规律为TT0aH。其中T0＝288K，a＝0.0065K/m。现有一飞机在10000m高空飞行，速度为250m/s，求它的飞行马赫数。若飞机在8000m高空飞行，飞行马赫数为1.5，求飞机相对于地面的飞行速度及所形成的马赫角。

已已知知：：TT0aH，T0＝288K，a＝0.0065K/m，H1＝10000m，u1＝250m/s，H2＝8000m，M2＝1.5，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

34解解析析：：(1) T1T0aH12886.51010223K

M1u12500.835 kRT1.428722313(2) T2T0aH22886.5108103236K

u2M2kRT21.51.4287236461.9m/s

那么，飞机飞行的马赫角为 2sin111sin141.8 M21.58－5 作绝热流动的二氧化碳气体，在温度为65℃的某点处的流速为18m/s，求同一流线上温度为30℃的另一点处的流速值。

已已知知：：T1＝65℃＝338K，u1＝18m/s，T2＝30℃＝303K，k＝1.288，R＝188.92J/kg·K。

2kRT1u12kRT2u2解解析析：：根据能量方程 ，得

k12k12 u22kR21.288188.92(T1T2)u12(338303)182244m/s k11.28818－6 等熵空气流的马赫数为M＝0.8，已知其滞止压力为p0＝4.9×105N/m2，滞止温度为t0＝20℃，试求其滞止音速a0、当地音速a、气流速度u及压力p。

已已知知：：M＝0.8，p0＝4.9×105N/m2，t0＝20℃，T0＝293K，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：滞止音速为 a0kRT01.4287293343m/s

1a0k122(1M)，得当地音速为 由a2k1221.41M)343(10.82)2323m/s aa0(12211气流速度为 uMa0.8323258.4m/s

pk12k1由0(1M)，得气流压力为

p2k12k11.41M)4.9105(10.82)1.413.21105N/m2 pp0(122k1.4k8－7 氦气作绝热流动，已知1截面的参量为t1＝60℃，u1＝10m/s，2截面处u2＝180m/s，求t2、M1和M2及p2/p1。

已已知知：：t1＝60℃，T1＝333K，u1＝10m/s，u2＝180m/s，k＝1.659，R＝2078.2J/kg·K。

2kRT1u12kRT2u2解解析析：：(1) 由能量方程式 ，可得

k12k12 T2T1k121.6591(u2u12)333(1802102)330K 2kR21.6592078.2即T2＝330 K，t2＝57℃。 (2) 马赫数 M1u1100.009 kRT1.6592078.23331 M2u21800.169 kRT21.6592078.2330k1.659pT3301.6591 2(2)k1()0.977

p1T13338－8 空气流经一收缩形管嘴作等熵流动，进口截面流动参量为p1＝140kN/m2，T1＝293K，u1＝80m/s，出口截面p2＝100kN/m2，求出口温度T2和流速u2。

已 已知知：：p1＝140kN/m2，T1＝293K，u1＝80m/s，p2＝100kN/m2，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

pT解解析析：：(1) 由等熵过程方程式2(2)k1，得

p1T1p T2T1(2)p1k1kk100293()1401.411.4266K

2u12u2kkRT1RT2(2) 由能量方程式，得 k12k12 u22kR21.4287(T1T2)u12(293266)802246.3m/s k11.418－9 有一充满压缩空气的储气罐，其内绝对压力p0＝9.8MPa，温度t0＝27℃，打开气门后，空气经渐缩喷管流入大气中，出口处直径de＝5cm，试求空气在出口处的流速和质量流量。

已 已知知：：p0＝9.8MPa，t0＝27℃，T0＝300K，de＝5cm， 取pa＝0.1Mpa，k＝1.4，R＝287J/kg·K。解解析析：：(1) 由流速计算式得

2kRT0p[1(a) uk1p0(2) 由流量方程式得

k1k21.42873000.1][1()1.419.81.411.4]663.4m/s

pp2kGAp00[(a)k(a)k1p0p022k1k2pp12kp02]de[(a)k(a)4k1RT0p0p021.42k1k]

121.49.8100.10.052[()41.412873009.812(0.1)9.81.411.4]5.6kg/s8－10 空气经一收缩形喷管作等熵流动，已知进口截面流动参量为u1＝128m/s，p1＝400kN/m2，T1＝393K，出口截面温度T2＝362K，喷管进、出口直径分别为d1＝200mm，d2＝150mm，求通过喷管的质量流量G和出口流速u2及压力p2。

已已知知：：u1＝128m/s，p1＝400kN/m2，T1＝393K，T2＝362K，d1＝200mm，d2＝150mm，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

解解析析：：(1) 由流量方程式得

p141051 G1u1A1u1A11280.2214.25kg/s

RT12873934(2) 由能量方程式可得 u22kR21.4287(T1T2)u12(393362)1282280m/s k11.41kpT(3)由等熵过程方程式2(2)k1，得

p1T1T3621.41 p2p1(2)k1400()300kN/m2

T13938－11 试计算流过进口直径d1＝100mm，绝对压力p1＝420kN/m2，温度t1＝20℃；喉部直径d2＝50mm，绝对压力p2＝350kN/m2的文丘里管的空气质量流量。设为等熵过程。

已已知知：：p1＝420kN/m2，t1＝20℃，T1＝293K，p2＝350kN/m2，d1＝100mm，d2＝50mm，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

k1.4pT解解析析：：(1) 由等熵过程方程式2(2)k1，可得

p1T1p T2T1(2)p1k1kk350293()4201.411.4278K

由气体状态方程式pRT，可得

p1420103 14.995kg/m3

RT1287293p2350103 24.387kg/m3

RT2287278(2) 由连续性方程式1u1A12u2A2，可得 u2(2u12u2kkRT1RT2代入能量方程式，得 k12k121d12)()u1 2d2 u12kR(T1T2)21.4287(293278)39.07m/s

12d144.99521004(1.41)[()()1](k1)[()()1]4.387502d2 u2(1d124.9951002)()u1()()39.07177.94m/s 2d24.38750(3) 由流量方程式得 G1u1A14.99539.0710.121.53kg/s 48－12 氨气由大容器中经喷管流出，外界环境压力为100kN/m2，容器内气体的温度为200℃，压力为180kN/m2，如通过的重量流量为20N/s，求喷管直径。设流动为等熵。氨的气体常数为R＝482J/kg·K，绝热指数k＝1.32。

已已知知：：p0＝180kN/m2，t0＝200℃，T0＝473K，pa＝100kN/m2，W＝20N/s，，k＝1.32，R＝482J/kg·K。

解解析析：：(1) 由气体状态方程式pRT，可得

p0180103 00.79kg/m3

RT048247312(2) 由质量流量计算式Gd4pp2kp00[(a)k(a)k1p0p02k1k]，可得喷管直径为

4Gd4pp2kp00[(a)k(a)k1p0p02k1k]

44209.813.1421.321001801030.79[()1.32118021.32100()1801.3211.320.10m]8－13 空气流等熵地通过一文丘里管。文丘里管的进口直径d1＝75mm，压力p1＝138kN/m2，温度t1＝15℃，当流量G＝335kg/h时，喉部压力p2不得低于127.5kN/m2，问喉部直径为多少？

已已知知：：d1＝75mm，p1＝138kN/m2，t1＝15℃，T1＝288K，G＝335kg/h，p2≥127.5kN/m2，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

解解析析：：(1) 由气体状态方程式pRT，可得

p1138103 11.670kg/m3

RT128728812p2k由等熵过程方程式()，可得

1p1p127.51.4 21(2)k1.670()1.578kg/m3

p1138(2) 由流量方程式G1u1A1，可得

11 u14G433512.6m/s

1d1236001.6703.140.07522kp1u12kp2u2(3) 由能量方程式，可得 k112k122

u22kp1p221.4138127.5()u12()10312.62114.1m/s k1121.411.6701.578(4) 由流量方程式G2u2A2，得 d24G43350.0257m25.7mm

2u236003.141.578114.18－14 空气在直径为10.16cm的管道中等熵流动，其质量流量为1kg/s，滞止温度为38℃。在管道某截面处的静压为41360N/m2，试求该截面处的马赫数M、流速u及滞止压力p0。

已 已知知：：d＝10.16cm，G＝1kg/s，t0＝38℃，T0＝311K，p＝41360N/m2，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

2kRT0kpu解解析析：：(1) 由连续性方程GuA和能量方程，可得 k1k12 u22kRT02kpAu0

k1Gk12代入数据解之，得 u2346.04u6247990 求解上述方程，得 u241.5m/s

(2) 由连续性方程 GuA，得 G410.511kg/m3 2uA241.53.140.1016则马赫数为 Muaukp241.50.717

1.4413600.511kpk12k1(3) 由压力比计算式0(1M)，得

p2k12k11.41M)41360(10.7172)1.4158256N/m2 p0p(122k1.48－15 用毕托管测得空气流的静压为35850N/m2(表压)，全压与静压之差为49.5cmHg，大气压力为75.5cmHg，气流滞止温度为27℃。假定(1)空气不可压缩；(2)空气等熵流动。试计算空气的流速。

已已知知：：pm＝35850 N/m2，Δp＝p0－p＝49.5 cmHg＝66018.4 N/m2，pa＝75.5cmHg＝100694.7 N/m2，t0＝27℃，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

解解析析：：根据已知条件可得 p＝pm＋pa＝136544.7 N/m2，p0＝p＋Δp＝202563.1 N/m2，T0＝300 K，

0p0202563.12.353kg/m3 RT0287300(1) 根据伯努利方程p0p u1u2，得 22(p0p)2(202563.1136544.7)236.9m/s

2.353(2) 根据可压缩流的流速计算式得

2kRT0pu[1()k1p0k1k21.4287300136544.7][1()1.41202563.11.411.4]253.4m/s

8－16 已知正激波后气流参量为p2＝360kN/m2，t2＝50℃，u2＝210m/s，试求波前气流的马赫数M1及气流参量p1、t1和u1。

已已知知：：p2＝360kN/m2，t2＝50℃，T2＝323K，u2＝210m/s，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：(1) 激波后的马赫数为 M2由正激波前后马赫数的关系，得

u2u22100.583 a2kRT21.4287323k12M222(k1)M22(1.41)0.583222 M13.872 22k12kM2(k1)21.40.583(1.41)2kM221则 M11.968

(2) 由正激波前后气流参量比与波前M1数的关系式：

Tp2k122k22kk1)(M121)[1]； M12； 2(2T1k1k1p1k1k1(k1)M1u22k1 u1(k1)M12k1

可得到 p1p2(2kk1121.41.411M12)360(1.9682)82.7kN/m2 k1k11.411.41T1T2(

k122k21)(M121)1[1]k1k1(k1)M121.41221.42323()(1.96821)1[1]1194K21.411.41(1.41)1.968

u1u2[2k1121.411]210[]550m/s 221.41(k1)M1k1(1.41)1.9688－17 空气流在管道中产生正激波，已知激波前的参量M1＝2.5，p1＝30kN/m2，t1＝25℃。试求激波后的参量M2、p2、t2、u2及p02。

已已知知：：M1＝2.5，p1＝30kN/m2，t1＝25℃，T1＝298K，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：(1) 由正激波前后马赫数的关系式，得

k12M12(k1)M122(1.41)2.5222 M20.263 22k12kM1(k1)21.42.5(1.41)kM1221则 M20.513

(2) 由正激波前后气流参量比与波前M1数的关系式：

Tp2k122k22kk1)(M121)[1]； M12； 2(T1k1k1p1k1k1(k1)M12

u2p022k1； u1(k1)M12k1p01(k1)M12k1[]22(k1)M1(2kk1M12)k1k11k1k

可得到 p2p1(2kk121.41.41M12)30(2.52)213.75kN/m2 k1k11.411.41T2T1(

k122k2)(M121)[1]k1k1(k1)M121.41221.42298()(2.521)[1]637K1.411.41(1.41)2.52u2u1[2k12k1]MkRT[]11(k1)M12k1(k1)M12k1

21.412.51.4287298[]259.5m/s(1.41)2.521.41

(k1)M12k1k12(k1)M12k1p01[]p1[(1M1)]2222(k1)M12(k1)M1p02112kk1k12kk1k122(M1)(M1)k1k1k1k1

1.421.41(1.41)2.530[(12.52)]1.41222(1.41)2.5255.78kN/m2121.41.411.41(2.52)1.411.418－18 已知正激波上游空气的参量为p1＝80N/m2，T1＝283K，u1＝500m/s，求激波下游的参量p2，T2，ρ2和u2。

已已知知：：p1＝80N/m2，T1＝283K，u1＝500m/s，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：波前马赫数及气流密度分别为 M1kku15001.483 kRT1.42872831p1809.85104kg/m3 RT1287283 1由式(8－125)可得 u2u1[2k121.41]500[]273m/s 221.41(k1)M1k1(1.41)1.483由式(8－123)可得 p2p1(2kk121.41.41M12)80(1.4832)192N/m2 k1k11.411.41由式(8－122)可得

9.85104(1.41)1.4832 21.81103kg/m3 222(k1)M12(1.41)1.483由式(8－124)可得

1(k1)M12T2T1(

k122k2)(M121)[1]k1k1(k1)M121.41221.42283()(1.48321)[1]370.4K21.411.41(1.41)1.483

8－19 已知管路中正激波前的气流参量为u1＝920m/s，p1＝70kN/m2，t1＝395℃，求激波后的气流参量u2，p2和t2值。

已已知知：：u1＝920m/s，p1＝70kN/m2，t1＝395℃，T1＝668K，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：正激波前的马赫数为 M1u19201.776 kRT1.42876681由式(8－125)可得 u2u1[2k121.41]920[]396m/s

(k1)M12k1(1.41)1.77621.41由式(8－123)可得 p2p1(2kk121.41.41M12)70(1.7762)246kN/m2 k1k11.411.41由式(8－124)可得

T2T1(

k122k2)(M121)[1]k1k1(k1)M121.41221.42668()(1.77621)[1]1011K21.411.41(1.41)1.776

或者 t21011273738℃

8－20 已知一超音速气流以u1流过2θ＝20°的尖楔，在楔形物的顶点处产生斜激波，测得激波角β＝50°，激波前的滞止温度T0＝288K。求激波前的马赫数M1和速度u1。

已已知知：：θ＝10°，β＝50°，T01＝288K，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

22tg()(k1)Msin21解解析析：：由式(8－133)，即 ，可得 22tg(k1)M1sin (k1)sintg()M1(k1)sintgM12tg 则激波前的马赫数为

2222M1

2tg(k1)sin2tg()(k1)sin2tg2tg501.6322(1.41)sin50tg(5010)(1.41)sin50tg50

T0k121M，可得 T2k1211.41 T1T01(1M1)288(11.632)1188K

22由式(8－53)，即

所以 u1M1a1M1kRT11.631.4287188448m/s

8－21 一超音速空气流的马赫数M1＝2.5，压力p1＝0.85×105N/m2，温度t1＝25℃，流过θ＝10°的楔形物体产生斜激波。求激波角β和激波后的参量M2、p2、t2和u2。

已已知知：：M1＝2.5，p1＝0.85×105N/m2，T1＝298K，θ＝10°，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：斜激波前的气流速度为 u1M1kRT12.51.4287298865m/s

2ctg(M12sin21)(1) 先由式(8－134)，即tg，解出激波角β(略)； 222(k1)M12(M1sin1)2(k1)M12sin2(2) 由式(8－132)，即Msin()，可得到激波后的马赫222kM1sin(k1)222数为

2(k1)M12sin2 M2 222[2kM1sin(k1)]sin()(3) 由式(8－129)，即

p22kk1M12sin2，可得激波后的压力为 p1k1k1 p2p1[2kk1M12sin2] k1k1T2k122k2()(M12sin21)[1]，可得22T1k1k1(k1)M1sin(4) 由式(8－130)，即到激波后的温度为

T2T1(k122k2)(M12sin21)[1] k1k1(k1)M12sin2u2[2(k1)M12sin2]sin(5) 由式(8－131)，即，可得到激波后的气流速度为 u1(k1)M12sin2sin()u1[2(k1)M12sin2]sin u2 22(k1)M1sinsin()8－22 空气流以u1＝650m/s的超音速绕过θ＝18°的楔形物体流动，在折角处产生斜激波，已知激波角β＝51°，求激波后的气流速度及通过激波后的焓值增量。

已已知知：：u1＝650m/s，θ＝18°，β＝51°。 解解析析：：(1) 由图8－27所示的斜激波图形可知 u1nu1sin； u2τu1τu1nu1sinu1cos tgtg u2nu2τtg()u1costg()

u2

u2τucostg()ucos11sin()sin()cos()650cos51488m/scos(5118)

2u12u2i2(2) 由能量方程i1，得焓值增量为 22 i2i11212(u1u2)(65024882)92178J/kg 228－23 已知一超音速气流u1＝500m/s，T1＝300K，p1＝105Pa，现绕外钝角折转15°。试求折转后气流的速度、压力和温度。

已已知知：：u1＝500m/s，T1＝300K，p1＝105Pa，θ＝15°，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：超音速气流绕外钝角折转后将产生膨胀波，波前的马赫数为 M1u15001.44 kRT1.42873001由于本题所给的初始马赫数M1＝1.44＞1，所以气体膨胀波函数表不能够直接应用。可以设想初始来流马赫数M1＝1.44是由M＝1绕某一个θ*角膨胀而得来的，然后在此基础上再绕一个θ＝15°的折转角继续膨胀加速而得到M2，这样所求得的M2和p2完全相当于M1＝1.44直接转折θ＝15°角的结果。这是因为M2只与总折转角有关，而与折转过程无关，所以可按以下步骤解题：

(1) 先求出由M＝1膨胀到M1＝1.44的折转角θ* 由M1＝1.44查气体膨胀波函数表，得θ*＝10° (2) 再求出M＝1膨胀到M2的总折转角Σθ

Σθ＝θ*＋θ＝10°＋15°＝25°

(3) 最后求出M2、p2、T2和u2

依总折转角Σθ＝25°查膨胀波函数表，得M2＝1.951，p2/p02＝0.138，T2/T02＝0.568；根据M1＝1.44查得p1/p01＝0.299，T1/T01＝0.708。注意到等熵流p01＝p02，T01＝T02，则

p2p2p011p10.1381054.6104Pa p02p10.299T2T011T10.568300241K T02T10.708 T2 u2M2a2M2kRT21.9511.4287241607m/s

8－24 已知一超音速气流M1＝2.32，p1＝1.2×105Pa，t1＝30℃，现绕150°的凸钝角流动。试求下游气流的压力、温度、马赫数和折转角。

已 已知知：：M1＝2.32，p1＝1.2×105Pa，T1＝303K，θ＝180°－150°＝30°，k＝1.4，R＝287J/kg·K。解解析析：：因为M2只与总折转角有关，而与折转过程无关，所以可按上题相似的步骤解题： (1) 先求出由M＝1膨胀到M1＝2.32的折转角θ* 由M1＝2.32查气体膨胀波函数表，得θ*＝35° (2) 再求出M＝1膨胀到M2的总折转角Σθ

Σθ＝θ*＋θ＝35°＋30°＝65°

(3) 最后求出M2、p2、T2和气流折转角φ

依总折转角Σθ＝65°查膨胀波函数表，得M2＝3.949，p2/p02＝7.12×103，T2/T02＝0.244，φ2＝140°20′；根据M1＝2.32查得p1/p01＝0.0764，T1/T01＝0.480，φ1＝99°33′。注意到等熵流p01＝p02，T01＝T02，则

p2－

p2p011p17.121031.21051.12104Pa p02p10.0764T2T011T10.244303154K T02T10.480 T2 211402099334047

8－25 氧气在直径d＝200mm，阻力系数λ＝0.02的管道中作绝热流动，已知入口截面的流动参量p1＝450kN/m2，t1＝33℃，u1＝600m/s。求极限管长及相应的出口压力、温度和速度值。

已已知知：：d＝200mm，λ＝0.02，p1＝450kN/m2，t1＝33℃，T1＝306K，u1＝600m/s，k＝1.4，R＝260J/kg·K。

解解析析：：(1) 进出口马赫数分别为 M1u16001.80； M2M*1 kRT1.42603061Lmax1M12k1(k1)M12由 ，得极限管长为 ln22D2kkM12(k1)M1(k1)M12D1M12k1Lmax[ln]kM122k2(k1)M120.211.81.41(1.41)1.8[ln]2.42m0.021.41.8221.42(1.41)1.82122

p2M12(k1)M122(2) 由 []，得出口压力为 2p1M22(k1)M2

M12(k1)M1221.82(1.41)1.822p2p*p1[]450[]949kN/m2 22M22(k1)M212(1.41)1T22(k1)M12(3) 由 ，得出口温度为 2T12(k1)M22(k1)M122(1.41)1.82 T2T*T1306420K 22(k1)M22(1.41)12(4) 出口速度为 u2u*kRT*1.4260420391m/s

118－26 氮气在直径d＝300mm的管道中作绝热流动，已知通过的质量流量为42kg/s，入口截面的流动参量为p1＝980kN/m2，t1＝60℃，出口截面的密度为ρ2＝0.8ρ1，沿程阻力系数λ＝0.015，求管道长度。

已已知知：：d＝300mm，G＝42kg/s，p1＝980kN/m2，t1＝60℃，T1＝333K，ρ2＝0.8ρ1，λ＝0.015，k＝1.4，R＝296.8J/kg·K。

解解析析：：(1) 由气体状态方程得

p1980103 19.916kg/m3

RT1296.8333 20.810.89.9167.933kg/m (2) 由连续性方程得 u13G44259.95m/s 21A9.9163.140.3 u21u1u159.9574.94m/s 20.80.8u159.950.161 kRT1.4296.83331(3) 马赫数 M1212u1M12(k1)M2由 []2，得 21u2M22(k1)M1M2

2M12(22)[2(k1)M12](k1)M121

20.16120.22220.8[2(1.41)0.161](1.41)0.161D1M2k1(k1)M2(4) 由Lmax[ln]，得对应于M1和M2的极限管长分22kM2k2(k1)M别为

(k1)M12D1M12k1Lmax1[ln]22kM12k2(k1)M10.310.1611.41(1.41)0.161[ln]477m0.0151.40.161221.42(1.41)0.161222

Lmax2

22(k1)M2D1M2k1[ln]22kM22k2(k1)M20.310.21.41(1.41)0.2[ln]291m220.0151.40.221.42(1.41)0.222

则管道长度为 LLmax1Lmax2477291186m。

8－27 空气在d＝300mm的管道中绝热流动，已知入口截面参量p1＝1.0MPa，T1＝330K，出口截面的压力和密度分别为p2＝0.78MPa，ρ2＝0.8ρ1，沿程阻力系数λ＝0.02，求质量流量和管长。

已已知知：：d＝300mm，p1＝1.0MPa，T1＝330K，p2＝0.78MPa，ρ2＝0.8ρ1，λ＝0.02，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

解解析析：：(1) 由气体状态方程得

p11.0106 110.559kg/m3

RT1287330 20.810.810.5598.447kg/m

2kp1u12kp2u2 (2) 由连续性方程1u12u2和能量方程，得 k112k12232 u2[1(222kp1p2)]() 1k11211代入数据得

2kp1p22u2[()][1(2)2]2k1121

[ u121.41.0100.78108.447()][1()]1.4110.5598.44710.5596612122

214.5m/s2u0.8214.5171.6m/s 12142(3) 质量流量 G1u1A10.559171.60.3128.0kg/s (4) 马赫数 M1u1171.60.471 kRT1.42873301 M2u2214.50.597

6p1.40.7810k228.447D1M2k1(k1)M2由Lmax[ln]，求得对应于M1和M2的极限管长分22kM2k2(k1)M别为

(k1)M12D1M12k1Lmax1[ln]kM122k2(k1)M12Lmax20.310.4711.41(1.41)0.471[ln]20m220.021.40.47121.42(1.41)0.47122

22(k1)M2D1M2k1[ln]2kM222k2(k1)M20.310.5971.41(1.41)0.597[ln]7.54m0.021.40.597221.42(1.41)0.597222

则管道长度为 LLmax1Lmax2207.5412.46m

8－28 空气在d＝150mm的管道中绝热流动，流量为2.7kg/s，沿程阻力系数λ＝0.018，起始截面的压力为180kPa，温度为50℃，求不发生壅塞的最大管长及相应的出口截面温度和压力。

已已知知：：d＝150mm，G＝2.7kg/s，λ＝0.018，p1＝180kPa，t1＝50℃，T1＝323K，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

解解析析：：(1) 由气体状态方程得

p1180103 11.942kg/m3

RT1287323由连续性方程得 u1G2.778.7m/s

11A1.9420.1524马赫数为 M1u178.70.218 kRT1.42873231D1M2k1(k1)M2(2) 由Lmax[ln]，可得不发生壅塞的最大管长为 22kM2k2(k1)M(k1)M12D1M12k1Lmax[ln]22kM12k2(k1)M10.1510.2181.41(1.41)0.218[ln]98.8m220.0181.40.21821.42(1.41)0.218122

Tk1p1k1(3) 由式及式[]2，得到 22T*2(k1)Mp*M2(k1)M2(k1)M122(1.41)0.2182323272K T*T1k11.41k11.4122 p*p1M1[]1800.218[]36kPa 222(k1)M12(1.41)0.218118－29 16℃的空气在d＝20cm的管道中等温流动，沿管道3600m的压降为98kPa，假设入口压力为490kPa，沿程阻力系数λ＝0.03，求质量流量。

已已知知：：t＝16℃，T＝289K，d＝20cm，L＝3600m，Δp＝98kPa，p1＝490kPa，λ＝0.03，R＝287J/kg·K。

解解析析：：因为 p2＝ p1－Δp＝490－98＝392kPa，所以质量流量为

2D52G(p12p2)16lRT3.140.2(49023922)1061.38kg/s160.03360028728925

8－30 空气在水平等直径长管中等温流动，断面1的参数p1＝700kN/m2，u1＝40m/s，断面2的参数p2＝280kN/m2，温度为303K，求在断面1和2之间每kg气体所增加的动能值。

已已知知：：p1＝700kN/m2，p2＝280kN/m2，u1＝40m/s，T＝303K。 解解析析：：由式(8－185)，可得 u2p1700u140100m/s p2280则在断面1和2之间每kg气体所增加的动能值为

121(u2u12)(1002402)4200J/kg4.2kJ/kg 228－31 已知煤气管路的直径为200mm，长度为3000m，进口截面绝对压力p1＝980kPa，温度T1＝300K，出口截面的压力为p2＝490kPa，管道摩擦阻力系数λ＝0.012，煤气的气体常数R＝490J/kg·K，绝热指数k＝1.3，煤气管路按等温流动考虑，求通过的质量流量和出口马赫数。另计算极限管长及相应的出口压力和流速。

已已知知：：d＝200mm，L＝3000m，p1＝980kPa，T1＝300K，p2＝490kPa，λ＝0.012，k＝1.3，R＝490J/kg·K。

解解析析：：(1) 由质量流量计算式，得

2D52G(p12p2)16lRT3.140.2(98024902)1065.18kg/s160.0123000490300lkM12，得 D25

(2) 由式p2p11 M1pD0.24902[1(2)2][1()]0.0566 lkp10.01230001.3980由

p22u1M1，得出口马赫数为 p11u2M2p1980M10.05660.113 p2490 M2Lmax1kM22 (3) 由极限管长计算式ln(kM)，得极限管长为 2DkMD1kM122Lmax[ln(kM)]12kM10.211.30.0566[ln(1.30.05662)]3894m20.0121.30.05662

由出口压力及流速计算式得 p ukp1M11.39800.056663.24kPa

RT490300383.4m/s

8－32 甲烷气体通过直径d＝600mm，长度L＝40km的钢管，从p1＝420kN/m2的上游压缩机站输送至p2＝140kN/m2的下游出口处，设流动是等温的，t＝20℃，沿程阻力系数λ＝0.02，求其质量流量。

4

已已知知：：d＝600mm，L＝4×10m，p1＝420kN/m2，p2＝140kN/m2，T1＝293K，λ＝0.02，

R＝518.3J/kg·K。

解解析析：：由质量流量计算式(8－180)，得

2D52G(p12p2)16lRT3.1420.65(42021402)1067.86kg/s4160.02410518.3293

8－33 一等温管路长800 m，入口压力和温度分别为800kPa和15℃，出口压力为600kPa，沿程阻力系数为0.01，要求输送的空气量为0.3kg/s，试计算管路应有的直径。

已已知知：：L＝800m，p1＝800kPa，p2＝600kPa，T1＝288K，λ＝0.01，R＝287J/kg·K，G＝0.3kg/s。

解解析析：：由质量流量计算式(8－180)，得

16lRTG2160.018002872880.3250.051m51mm d52222226(p1p2)3.14(800600)108－34 空气流过一直径d＝300mm的管道排入大气中，大气压力为98.1kN/m2，管长l＝

100m，空气温度t＝32℃，通过的质量流量为13.2kg/s，沿程阻力系数λ＝0.015，如保持等温流动，进口压力为多少(按短管考虑)？

已已知知：：d＝300mm，p2＝pa＝98.1kN/m2，l＝100m，t＝32℃，T＝305K，G＝13.2kg/s，λ＝0.015，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

解解析析：：(1)由气体状态方程得

p298.1103 21.12kg/m3

RT2287305由连续性方程得 u2G413.2166.8m/s 22A1.123.140.3222(2)由短管压降计算式p1p21u1p1(2lnpuu2l)及221，可得

p11u2u1D p1p2(1u1)(p1u1)(2ln代入已知数据，并整理后可得

lnp13.271021022u2pll)(2u2)(p2u2)(2ln1) u1Dp2Dp1214.840

2采用试算法解上述方程，得 p1167.91kN/m。

8－35 空气在光滑水平管道中输送，管长200m，管径50mm，摩阻系数λ＝0.016，进口处绝对压力为106N/m2，温度为20℃，流速为30m/s，求沿此管道的压力降。(1)气体为不可压缩流体；(2)气体为可压缩绝热流动；(3)气体为可压缩等温流动。

已已知知：：L＝200m，d＝50mm，λ＝0.016，p1＝106N/m2，t1＝20℃，T1＝293K，u1＝30m/s，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

解解析析：：(1) 当气体为不可压缩流体时，

l1l1p12200110630221u1u10.016342.5kN/m2 pD2D2RT0.052287293(2) 当气体为可压缩绝热流动时，

k1lu12k1p2p1(1)k2DRT1106(11.410.01620030)1.420.0528729321.41.41k

596.9kN/m2则 pp1p21000596.9403.1kN/m (3) 当气体为可压缩等温流动时，

2lu12200302100010.016561.3kN/m2 p2p11DRT0.05287293则 pp1p21000561.3438.7kN/m2

8－36 空气无摩擦地流过等截面管道，入口气流参量为T＝280K，p＝2.4×105N/m2，M＝0.24，试求：(1)管道出口达到M＝1时，每千克气体需要加入多少热量？(2)出口截面上的临界压力和临界滞止压力为多少？(3)熵值增加多少？

已已知知：：T＝280K，p＝2.4×105N/m2，M＝0.24，k＝1.4，R＝287J/kg·K。 解解析析：：(1) 根据式(8－53)和式(8－168)，得 T01T1(1k121.41M1)280(10.242)283K 22T0*

T011k22(k1)M122M1()[]2k11kM1283211.4222(1.41)0.240.24()[]21.4111.40.24

1182K由式(8－156)可算得管出口M＝1时，单位质量气体所获得的热量为

Cp(T0*T01) qkR1.4287(T0*T01)(1182283)9.03105J/kg k11.41(2) 根据式(8－162)和式(8－160)，可以得到出口截面上的临界温度和临界压力为

(1kM12)2(11.40.242)2 T*T1280986K 2222M1(1k)0.24(11.4)21kM12511.40.242.4101.08105kPa p*p11k11.4由式(8－55)和式(8－170)可得到出口截面上的临界滞止压力

k12k11.41M1)2.4105(10.242)1.412.5105kPa p01p1(122k1.4

1kM12k1p0*p01()[]k121k2(k1)M111.40.241.412.5105()[]11.42(1.41)0.242k1.4k21.41.41

2.05105kPa由式(8－172)可得到熵值增加量为

Tp9861.412.4 smaxsRln[(*)k1()]287ln[()()]1494J/kgK

Tp*2801.088－37 设空气无摩擦地流入等截面管道，入口处马赫数M＝0.2，温度T＝290K，滞止

压力p0＝2.75×105N/m2，沿管道有热量加入，使气流出口温度T2＝1200K，试计算气流出口马赫数M2。

已 已知知：：M1＝0.2，T1＝290K，p01＝2.75×105N/m2，T2＝1200K，k＝1.4，R＝287J/kg·K。

22TM1kM221解解析析：：由式(8－163)，即 2()2，可得到 2T1M11kM222M12(1kM2)T12 M20 22T2(1kM1)代入已知数据，并整理后得 0.0703M20.141M20.03590 解上述方程，得 M20.547

8－38 空气从一个滞止压力为p0＝4.8×105N/m2和滞止温度为T0＝320K的容器中流入内径为D＝75mm的管道，然后排入大气。沿管道流动过程中，外界输入335kJ/kg的热量。试求：(1)管道出口的马赫数M、温度T和压力p；(2)空气的质量流量G。

已＝335kJ/kg，k＝1.4，已知知：：D＝75mm，p01＝4.8×105N/m2，T01＝320K，pa＝105Pa，qR＝287J/kg·K。

解解析析：：依题意，比较p01和pa的数值可知，空气流在管道出口处将达到临界状态，即M2＝M*＝1。

42kR(T02T01)，则管道出口处空气的滞止温度为 k1k11.41320 T02T01q335103653K kR1.4287(1) 由式(8－156)知，q将已知数据代入式(8－168)，可得到含有未知入口马赫数的方程，即 M16995M110000

求解上述方程，可得管道入口马赫数为 M1＝0.378 根据式(8－53)，得到管道入口气流的温度为 T1T01(142k1211.41M1)320(10.3782)1311K 22根据式(8－55)，得到管道入口气流的压力为

k12k11.41p1p01(1M1)4.8105(10.3782)1.414.35105N/m2

22k1.4(2) 根据式(8－163)，可求得管道出口气流的温度为

M221kM1221211.40.37822 T2T1()()311()()544K 2M11kM20.37811.4根据式(8－161)，可求得管道出口气流的压力为

21kM12511.40.37852 p2p1 4.35102.1710N/m211.41kM2(3) 根据式(8－83a)，可得到空气的质量流量为

1kk122(k1)2GDp01M1(1M1)4RT012

11.41.412520.0754.8100.378(10.378)2(1.41) 428732022.87kg/s1.41k1

第九章 紊流射流

9－1 喷口直径为300mm的圆形射流，以10m/s均匀分布的流速射出，求离喷口3m处射流的半径R，流量Q，中心流速um和质量平均流速u。

已已知知：：d0＝300mm，R0＝0.15m，u0＝6m/s，s＝3m。 解解析析：：(1) 首先确定起始段长度sn

根据题意，喷口流速均匀分布，则β0＝1，x00.6R00.60.150.09m，所以 sn11.84R011.840.151.776ms3m 说明s＝3m处位于射流主体段内。

(2) 求距离喷口3m处射流的半径R

R0.22x0.22(x0s)0.22(0.093)0.68m (3) 求距离喷口3m处射流的流量Q 距离喷口3m处的无因次坐标为 xx3.0920.6，喷口截面流量为 R00.15 Q011d02u00.3260.424m3/s 44则 Q0.1550xQ00.155120.60.4241.354m3/s

(4) 求距离喷口3m处射流的中心流速um um12.440xu012.44163.6m/s 20.6(5) 求距离喷口3m处射流的质量平均流速u

u6.460xu06.46161.9m/s 20.69－2 空气流从直径为300mm的圆形喷口射出，流量为0.56m3/s，试求射程2m处射流半径、流量、轴心速度、截面平均流速和质量平均流速(取a＝0.08)。

已已知知：：d0＝300mm，R0＝0.15m，Q0＝0.56m3/s，s＝2m，a＝0.08。 解解析析：：(1) 首先确定起始段的长度，并令Zas0.0820.2940.2941.361。 R00.15 sn0.672R00.150.6721.26ms2m a0.08说明s＝2m处位于射流主体段内。

(2) 求射程2m处射流的半径R R3.4(as0.294)R03.4ZR03.41.3610.150.694m R0(3) 求射程2m处射流的流量Q Q2.2(as0.294)Q02.2ZQ02.21.3610.561.68m3/s R0(4) 求射程2m处射流的轴心流速um 喷口速度为 u0Q04Q040.567.93m/s A0d023.140.32则 um0.966u00.966u00.9667.935.63m/s

asZ1.3610.294R0(5) 求射程2m处射流截面平均流速u u0.19u00.19u00.197.931.11m/s

asZ1.3610.294R0(6) 求射程2m处射流的质量平均流速u u0.455u00.455u00.4557.932.65m/s

asZ1.3610.294R09－3 某体育馆的送风口直径d0＝500mm，风口至比赛区距离为45m，要求比赛区质量平均风速不得大于0.3m/s，求送风口的送风量不应超过多少？出口流速近似均匀分布。

已已知知：：d0＝500mm，R0＝0.25m，s＝45m，u≤0.3m/s。

解解析析：：(1) 根据题意，风口流速均匀分布，则β0＝1，x00.6R00.60.250.15m，距风口45m处的无因次坐标为 x(2) 求送风口的送风速度u0 由

xs0.1545x0180.6 R0R00.25u6.460 得 u0xux0.3180.68.387m/s

6.4606.4611d02u00.7850.528.3871.65m3/s 4 u0(3) 求送风口的送风量Q0 Q09－4 岗位送风所设风口向下，距地面4m，要求在工作区(距地面1.5m高范围)造成直径为1.5m的射流截面，限定轴心速度为2m/s，求送风口直径和出口风量。

已已知知：：s＝4m－1.5m＝2.5m，D＝1.5m，R＝0.75m，um＝2m/s。

解解析析：：(1) 首先假设工作区在射流主体段内，取风口的紊流系数a＝0.08，则 由

Ras3.4(0.294)，得 R0R0 R0R3.4as0.753.40.082.50.07m 所以送风口的直径为 d0＝0.14m。

(2) 由

um0.966，求得送风速度为 u0as0.294R0as0.082.50.2940.294R0um0.0726.52m/s u00.9660.966(3) 送风口的送风量为

223 Q0R0u03.140.076.520.1m/s

(4) 校核工作区 sn0.672R00.070.6720.588ms2.5m a0.08说明工作区位于射流主体段内。

9－5 圆形射流喷口半径R0＝200mm，今要求射程12m处距轴线1.5m的地方流速为3m/s，求喷口流量。

已已知知：：R0＝200mm，s＝12m，r＝1.5m，u＝3m/s，取紊流系数a＝0.08。 解解析析：：(1) 由

Ras3.4(0.294)，求射程12m处射流半径R R0R0 RR03.4as0.23.40.08123.464m

ur (2) 由施利希廷公式[1()2]2，求射程12m处射流的轴线速度um

umRr1.5222)]5.87m/s umu[1()2]3[1(R3.464(3) 由

333um0.966，求射流喷口速度u0 asu00.294R0as0.08120.2940.294R00.2um5.8730.95m/s u00.9660.966(4) 求射流喷口流量Q0

223 Q0R0u03.140.230.953.89m/s

9－6 为保证距喷口中心x＝20m，r＝2m处的流速u＝5m/s及起始段长度sn＝1m，假定喷口流速均匀分布，求喷口的初始风量。

已已知知：：x＝20m，r＝2m，u＝5m/s，sn＝1m。

解解析析：：(1) 依据题意，喷口流速均匀分布，则β0＝1，由sn11.84R0，求喷口半径R0 R0sn10.084m 11.8411.84(2) 由R＝0.22x，求x＝20m处的射流半径R R0.22x0.22204.4m

ur(3) 由施利希廷公式 [1()2]2，求x＝20m处射流轴线速度um

umRr2222)]10.395m/s umu[1()2]5[1(R4.4(4) 由

3330um12.44，求射流喷口速度u0 u0x xx20238.1 R00.084 u0umx10.395238.1198.96m/s

12.44012.441(5)求喷口的初始流量Q0

223 Q0R0u03.140.084198.964.41m/s

9－7 有一两面收缩均匀的矩形喷口，截面为0.05×2m2，出口速度为10m/s。求距喷口2.0m处射流的宽度、中心速度、质量平均速度及流量。喷口流速均匀分布。

已已知知：：A0＝0.05×2m2，B0＝0.025m，u0＝10m/s，s＝2.0m。 解解析析：：(1) 先确定起始段长度sn

根据题意，喷口流速均匀分布，则β0＝1，x00.6B00.60.0250.015m，所以 sn13.8B013.80.0250.345ms2.0m 说明s＝2m处位于射流主体段内。

(2) 求距离喷口2.0m处射流的半宽度B

B0.22x0.22(x0s)0.22(0.0152.0)0.4433m 则距离喷口2.0m处射流的宽度为2B0＝0.887m。

(3) 求距离喷口2.0m处射流的中心流速um 距离喷口2.0m处的无因次坐标为 xx2.01580.6 B00.025则 um3.80xu03.81104.233m/s 80.6(4) 求距离喷口2.0m处射流的质量平均流速u u2.660xu02.661102.96m/s 80.6(5) 求距离喷口2.0m处射流的流量Q 喷口截面流量为

3 Q0A0u00.052101.0m/s

则 Q0.3760xQ00.376180.61.03.756m3/s

9－8 平面射流的喷口长2m，高40mm，出口流量为0.8m3/s。求射程1.5m处的轴心速度，截面平均速度，质量平均速度和流量。取a＝0.11。

已已知知：：L＝2.0m，B0＝0.02m，Q0＝0.8m3/s，s＝1.5m，a＝0.11。 解解析析：：(1) 首先确定起始段的长

度，并设

Zas0.111.50.410.412.943。 B00.02 sn1.03B00.021.030.187ms1.5m a0.11说明射程s＝1.5m处位于射流主体段内。

(2) 求射程1.5m处射流的轴心速度um 已知喷口截面速度为 u0Q00.810m/s A02.00.04 um1.2u0as0.41B01.2u01.2104.08m/s Z2.943(3) 求射程1.5m处射流的截面平均速度u u0.492u0as0.41B00.492u00.492101.67m/s Z2.943(4) 求射程1.5m处射流的质量平均速度u u0.833u0as0.41B00.833u00.833102.83m/s Z2.943(5) 求射程1.5m处射流的流量Q Q1.2Q0as0.411.2Q0Z1.20.82.9432.83m3/s B09－9 试验测得平面射流的出口流速u0＝56m/s，某截面中心流速um＝10m/s，问该截面的气体流量是出口流量的多少倍(取β0＝1)？

已已知知：：u0＝56m/s，um＝10m/s，β0＝1。 解解析析：：(1) 由

um3.80，可求得无因次坐标x u0xu0563.8121.28 um10

x3.80(2) 由此得到Q与Q0的比值为

Q0.3760x0.376121.288.0 Q09－10 某平面射流的出口高度为60mm，求射程5m、距射流中心0.6m处的速度与出口速度的比值(取a＝0.12)。

已已知知：：B0＝0.03m，s＝5m，y＝0.6m，a＝0.12。 解解析析：：(1) 射流起始段长度为 sn1.03说明射程s＝5m处位于射流主体段内。

由

B00.031.030.258ms5m a0.12Bas2.44(0.41)，求射程5m处射流的半宽度B B0B0 BB02.44as0.032.440.1251.494m

uy(2) 由施利希廷公式[1()2]2，求射程5m、距射流中心0.6m处的速度u

umBy20.622)]0.556umm/s uum[1()2]um[1(B1.494(3) 由

333umu01.2，求射流的出口速度u0

as0.41B0umas0.41B01.2um0.1250.410.033.765umm/s 1.2 u0(4) 求射程5m、距射流中心0.6m处的速度与出口速度的比值

u0.556um0.148 u03.765um9－11 40℃的空气从直径为200mm的圆形喷口射出，喷口流速为3m/s(均匀分布)，周围空气温度为18℃，求射程5m处射流轴心温度、质量平均温度及流量。

已已知知：：R0＝0.1m，u0＝3.0m/s，t0＝40℃，T0＝313K，ta＝18℃，Ta＝291K，s＝5m。 解解析析：：(1) 首先确定起始段长度。

根据题意，喷口流速均匀分布，则β0＝1，x00.6R00.60.10.06m，所以 sn11.84R011.840.11.184m5m 说明射程s＝5m处位于射流主体段内。

(2) 求射程5m处射流的轴心温度Tm

射程5m处的无因次坐标为 xxs0.065x050.6 R0R00.1

TmTmTa9.24Ta9.242910.176 T0T0TaT3130x0150.6所以 TmTa0.176(T0Ta)2910.176(313291)295K

(3) 求射程5m处射流的质量平均温度T

TTTa6.46Ta6.462910.123 T0T0TaT3130x0150.6所以 TTa0.123(T0Ta)2910.123(313291)294K

(4) 求射程5m处射流的流量Q 喷口截面的流量为 Q011d02u00.2230.0942m3/s 44则 Q0.1550xQ00.155150.60.09420.74m3/s

9－12 温度为10℃的冷空气以2m/s的速度从半径为0.4m的圆形喷口水平喷射到温度为27℃的室内空间，喷口距地面高为5m。求距喷口6m处射流的中心温度、质量平均温度及射流轴线距地面的高度。

已已知知：：t0＝10℃，T0＝283K，ta＝27℃，Ta＝300K，u0＝2m/s，R0＝0.4m，s＝6m，H0＝5m。

解解析析：：(1) 先确定起始段的长度，取喷口紊流系数a＝0.08。 sn0.672R00.40.6723.36ms6m a0.08说明s＝6m处位于射流主体段内。

(2) 求距喷口6m处射流的中心温度Tm 设Zas0.0860.2940.2941.494 R00.4

TmTmTa0.7060.7060.7060.4726 T0T0Taas0.294Z1.494R0所以 TmTa0.4726(T0Ta)3000.4726(283300)292K

(3) 求距喷口6m处射流的质量平均温度T

TTTa0.4550.4550.4550.3045

asT0T0TaZ1.4940.294R0所以 TTa0.3046(T0Ta)3000.3046(283300)295K

(4) 求距喷口6m处射流轴线距地面的高度H 先计算阿基米德准数，ArgR0T09.810.4283－3000.0556 2Ta300u022由

ysasAr()2(0.2530.35)，得 R0R0R0yAr(

s2as)(0.2530.35)R0R0R0620.086)(0.2530.35)0.43.27m0.40.4

0.0556(则射流轴线距地面的高度为 HH0|y|53.271.73m

9－13 27℃的气体由直径为150mm的喷口喷出，周围气体的温度为3℃，求距喷口5m处，与射流轴线相距0.4m点的气体温度。(取a＝0.08)

已已知知：：t0＝27℃，T0＝300K，ta＝3℃，Ta＝276K，R0＝0.075m，s＝5m，y＝0.4m，a＝0.08。

解解析析：：(1) 先确定起始段长度 sn0.672R00.0750.6720.63ms5m a0.08说明s＝5m处位于射流主体段内。

(2) 由

Ras3.4(0.294)，求射程s＝5m处射流半径R R0R0 RR03.4as0.0753.40.0851.435m (3) 由

0.706T0Tm0.7060.706243K ，得 Tmasas0.085T00.2940.2940.294R0R00.075333r0.42Tr)]278.6K 由1()2，得 TTaTm[1()2]2763[1(R1.435TmR即 t278.62735.6℃

9－14 温度为40℃的空气以3.0m/s的速度从直径为100mm的圆形喷口沿水平方向射

出，周围空气的温度为15℃，求射流轴线的轨迹方程。

已已知知：：t0＝40℃，T0＝313K，Ta＝288K，T0T0Ta25K，u0＝3m/s，R0＝0.05m，取a＝0.08。

解解析析：：先计算阿基米德准数，ArgR0T09.810.052534.7310 22288u0Ta3由

ysasAr()2(0.2530.35)，得射流轴线的轨迹方程为 R0R0R0yAr(

s2as0.253a30.352)(0.2530.35)R0Ar(ss)2R0R0R0R00.2530.0830.352324.73103(ss)0.0383s0.0331s0.050.052

9－15 已知圆形喷口送风温度为5℃，车间温度为30℃。要求工作地点的质量平均风速为2.4m/s，轴心温度为15℃，工作面射流直径为2m。求(1)喷口到工作面的距离；(2)喷口直径和流速；(3)若喷口轴线水平，射流轴线在工作面处下降的高度。

已已知知：：t0＝5℃，T0＝278K，ta＝30℃，Ta＝303K，tm＝15℃，Tm＝288K，u＝2.4m/s，R＝1.0m；T0T0Ta25K，TmTmTa15K。

解解析析：：(1) 首先假定工作面在射流主体段，取喷口紊流系数a＝0.08，并设

Zas0.294。 R0由

T0Tm250.7060.7060.7061.1767 ，得 Z0.706asTm15T0Z0.294R0(2) 求喷口直径d0和喷口流速u0 由

RasR1.03.4(0.294)3.4Z，得 R00.25m R0R03.4Z3.41.1767则喷口直径为d0＝2R0＝0.5m。

由

u0.4550.455uZ2.41.17676.21m/s ，得喷口流速 u0u0as0.294Z0.4550.455R0(3) 求喷口到工作面的距离s 由Z(Z0.294)R0(1.17670.294)0.25as0.294，得 s2.76m R0a0.08(4) 求射流轴线在工作面处下降的高度y 先计算阿基米德准数，ArgR0T09.810.25255.247103 22303u0Ta6.21由

ysasAr()2(0.2530.35)，得 R0R0R0yAr(

s2as)(0.2530.35)R0R0R02.7620.082.76)(0.2530.35)0.250.092m0.250.25

5.247103((5) 校核工作区 sn0.672R00.250.6722.1ms2.76m a0.08说明工作面位于射流主体段内。

9－16 圆形喷口的直径为0.8m，比底面高5m，温度为－10℃的气体以2.0m/s的速度沿水平方向射出，已知室内温度为32℃，求距出口3.5m处的质量平均速度，轴线温度及射流轴线离地面的距离。设紊流系数a＝0.08。

已已知知：：d0＝0.8m，R0＝0.4m，u0＝2m/s，s＝3.5m，a＝0.08，t0＝－10℃，T0＝263K，ta＝32℃，Ta＝305K，T0T0Ta42K，H0＝5m。

解解析析：：(1) 首先确定起始段长度，并设Zas0.083.50.2940.2940.994。 R00.4 sn0.672R00.40.6723.36ms3.5m a0.08说明s＝3.5m处位于射流主体段内。

(2) 由

u0.4550.455，得质量平均速度为 u0as0.294ZR0 u(3) 由

0.455u00.45520.92m/s Z0.994Tm0.7060.706，得轴线温度为 T0as0.294ZR0 TmTa0.706T00.706(42)305275.2K Z0.994即 tm275.22732.2℃

(4) 求距喷口3.5m处射流轴线距地面的高度H 先计算阿基米德准数，ArgR0T09.810.4420.135 2Ta305u022由

ysasAr()2(0.2530.35)，得 R0R0R0yAr(

s2as)(0.2530.35)R0R0R03.520.083.5)(0.2530.35)0.42.18m0.40.4

0.135(则射流轴线距地面的高度为 HH0|y|52.182.82m

9－17 室外空气通过离地面7m高的条形喷口以2.0m/s的速度射入室内，已知喷口高度为0.35m，室外空气温度为－10℃，室内温度为20℃，求射流轴线碰到地面时的水平射程和轴线温度。

已已知知：：y′＝－7m，B0＝0.175m，u0＝2.0m/s，取a＝0.12，t0＝－10℃，T0＝263K，ta＝20℃，Ta＝293K，T0T0Ta30K。

解解析析：：(1) 先计算阿基米德准数 ArgB0T09.810.175300.044 22293u0Ta2.0由于 yAr(0.904B0T0as2.5)(0.205) 2Ta2B0a

0.9040.1752630.122.5)(s0.205) 29320.1750.1220.458(0.343s0.205)2.50.044(将y＝－7m代入上式，得水平射程为

70.4)0.205 s0.4588.08m

0.343((2) 由

TmT01.032，得轴线温度为

as0.41B01.032T0as0.41B02931.032(30)280.3K

0.128.080.410.175 TmTa即 tm280.32737.3℃

9－18 一平面射流以5.0m/s的速度向含有粉尘浓度为0.06×103kg/m3的室内喷射洁净空气，工作地点允许的质量平均浓度为0.02×103kg/m3，要求该处射流宽度不小于2m。试求：(1)喷口应有的宽度；(2)工作地点射流的轴心速度；(3)喷口距工作地点的距离(取a＝0.12)。

－－

已已知知：：u0＝5.0m/s，ca＝0.06×103 kg/m3，c0＝0，c＝0.02×103 kg/m3，B＝1.0m，a

－

－

＝0.12；c0c0ca0－0.06＝－0.06×103 kg/m3，ccca0.02－0.06＝－0.04

－

－

×103 kg/m3。

解解析析：：(1) 求喷口应有的宽度B0 由

cc00.833as，并令 Z0.41

Bas00.41B0c00.06103则有 Z0.8330.8331.25

c0.04103由

asB2.44(0.41)，得 B0B0 B0BB1.00.262m 22as2.441.252.44(0.41)2.44ZB0则喷口应有的宽度为2B0＝0.524m。

(2) 求工作地点射流的轴心速度um 由

umu01.2，得工作地点射流的轴心速度为

as0.41B01.2u0as0.41B01.2u01.25.04.8m/s Z1.25 um(3) 求喷口距工作地点的距离s 由Zas0.41，得喷口距工作地点的距离为 B0B0(Z20.41)0.262(1.2520.41)2.516m sa0.12而sn1.03B00.2621.032.249m，说明工作点在射流主体段内。 a0.129－19 平面射流喷射清洁空气于含尘浓度为0.12mg/L的静止空气中，喷口流速为4m/s。今要求在射程3m处轴线速度为2m/s，试计算：(1)喷口的宽度；(2)工作区轴心含尘浓度；(3)工作区射流的质量平均浓差。

已已知知：：c0＝0，ca＝0.12mg/L，u0＝4m/s，um＝2m/s，s＝3m。

解解析析：：(1) 先假定工作区在射流主体段内，取喷口紊流系数a＝0.12，并令

Zas0.41。 B0(2) 计算喷口的半宽度B0 由

umu01.2u01.241.21.22.4 ，得 Zum2Zas0.41B0由Zasas0.1230.41，得 B020.067m B0Z0.412.420.41则喷口的宽度为2B0＝0.134 m。

(3) 计算工作区轴心含尘浓度cm 由

cmcm－cac0c0－ca1.0321.0321.0320.43

Z2.4as0.41B0得工作区轴心含尘浓度cm为

cmca0.43(c0ca)0.120.43(00.12)0.0684mg/L (4) 计算工作区射流的质量平均浓差c 由

cc00.8330.833，得工作区射流的质量平均浓差为

Zas0.41B00.833c00.833(00.12)0.042mg/L Z2.4B00.0671.030.575ms3m a0.12

c(5) 校核工作区 sn1.03说明工作区位于射流主体段内。

9－20 已知旋流叶片内外径之比为2∶3，叶片安装角为30°，该旋流器所产生的旋流是强旋流还是弱旋流？为什么？若旋流器尺寸不变，将叶片安装角调整为45°，这时的旋流是否为强旋流？

已已知知：：r1/r2＝2/3，1＝30°，2＝45°。

解解析析：：(1) 当叶片安装角φ1＝30°时，旋流数为

21(r1/r2)321(2/3)3 Sn1tgtg300.4880.6，为弱旋流。 2231(r1/r2)31(2/3)(2) 当叶片安装角φ1＝45°时，旋流数为

21(r1/r2)321(2/3)3 Sn2tgtg450.8440.6，为强旋流。 2231(r1/r2)31(2/3)

第十章 喷射器与烟囱

10－1 某炉子的烟气量为10.8×103m3/h(标态)，烟气密度为1.30kg/m3(标态)，烟气温度为450℃，烟道总阻力为150N/m2，采用喷射排烟，喷射介质为20℃的空气，风机全风压为1800N/m2，试确定该喷射器的最佳尺寸和最大喷射效率。

已已知知：：Q0＝10.8×103m3/h，ρ0＝1.30kg/m3，tg＝450℃，ρ0a＝1.293kg/m3，ta＝20℃，Δp＝150N/m2，p＝1800N/m2。

解解析析：：(1) 20℃时空气的密度为 1011.2931.205kg/m3

1t1120/273(2) 空气喷管出口流速

取喷管出口流量系数μ＝0.92，则流速为

u12(pqp)10.922(1800150)56.89m/s

1.205(3) 烟气的质量流量为

10.81033.90kg/s G202Q021.303600(4) 烟气的实际密度为 2021.300.491kg/m3

1t21450/273(5) 烟气的体积流量为 Q2G223.907.94m3/s 0.491(6) 求最佳喷射截面比佳 由式(10－12)得

佳11111u121.20556.89213.0

(p4p0)佳21502(7) 求喷射比m和n值 根据定义可知

n2，则 m1 n20.491mm0.407m 11.205m(0.407m)

10.2将上式代入式(10－11)，并取ηk＝0.6，K2＝0.2，得

13.0(20.6)(m1)(0.407m1)解之得

m＝4.11 n＝0.407m＝1.67 (8) 空气的质量流量和体积流量分别为 G1 Q1G23.902.335kg/s n1.67G112.3351.938m3/s 1.205(9) 混合气体的质量流量为

G3＝G1＋G2＝2.335＋3.90＝6.235 kg/s (10) 空气喷口尺寸 A1Q11.9380.0341m2 u156.89 d1(11) 混合段尺寸

4A140.03410.208m

3.14 A3佳A113.00.03410.4433m d324A340.44330.752m

3.14混合段内过渡段长度取 l2＝2d3＝2×0.752＝1.504 m 混合段的直管段长度取 l3＝3d3＝3×0.752＝2.256 m 混合段的总长度为 l2＋l3＝1.504＋2.256＝3.76 m

(12) 收缩段尺寸

A2＝(1＋K2)A3＝(1＋0.2)×0.4433＝0.532 m2

d24(A1A2)4(0.03410.532)0.849m

3.14 d0＝2d3＝2×0.752＝1.504 m l1＝2d3＝2×0.752＝1.504 m (13) 扩张段尺寸

d4＝2d3＝2×0.752＝1.504 m l4＝8d3＝8×0.752＝6.016 m (14) 喷射器的简图如图所示

题10－1附图

(15) 喷射器的最大喷射效率

首先考虑气体混合后温度的变化，假定混合气体的温度t3＝300℃，查表得，不同温度下的空气、烟气和混合气体的等压比热分别为

Cp1＝1.013 kJ/kg·K， Cp2＝1.168 kJ/kg·K， Cp3＝1.122 kJ/kg·K 根据热平衡方程

G1Cp1t1＋G2Cp2t2＝G3Cp3t3 将已知数据代入上式，得混合气体的真实温度为

t32.3351.013203.901.168450300℃

6.2351.122与假定的混合气体温度相符。则混合气体的密度为 0301G102G2G31.2932.3351.303.901.297kg/m3

6.235 3031.2970.618kg/m3

1t31300/273混合气体的体积流量为

Q3G336.23510.09m3/s 0.618A2截面和A4截面上的气体流速分别为

u2Q27.9414.92m/s A20.532 u4因为p1≈p2，所以

Q310.095.68m/s A411.5042412p4p1p4p2(p4p0)(p0p2)(p4p0)(1K2)2u22

1150(10.2)0.49114.922215.58N/m22将有关数据代入式(10－7)，得喷射器的最大喷射效率为

12Q2(p4p02u4)2100%12Q1[1(u12u4)(p4p1)]2

17.94(1500.4915.682)2100%37.7%11.938[1.205(56.8925.682)215.58]210－2 某炉子的烟气温度为560℃，烟气量为1.25m3/s(标态)，烟气密度为1.32kg/m3(标态)，烟道总阻力为5.5mmH2O，采用全风压为400mmH2O的风机供给20℃的空气作喷射介质，为该炉子设计一个排烟喷射器。

已已知知：：Q0＝1.25m3/s，ρ0＝1.32kg/m3，tg＝560℃，ρ0a＝1.293kg/m3，ta＝20℃，Δp＝5.5mmH2O，p＝400mmH2O。

解解析析：：(1) 20℃时空气的密度为 1011.2931.205kg/m3

1t1120/273(2) 空气喷管出口流速

取喷管出口流量系数μ＝0.92，则流速为

u12(pqp)10.922(4005.5)9.8174.75m/s

1.205(3) 烟气的质量流量为

G202Q021.321.251.65kg/s (4) 烟气的实际密度为 2021.320.433kg/m3

1t21560/273(5) 烟气的体积流量为 Q2G221.653.81m3/s 0.433(6) 求最佳喷射截面比佳 由式(10－12)得

佳11111u121.20574.75262.40

(p4p0)佳25.59.812(7) 求喷射比m和n值 根据定义可知

n2，则 m1 n20.433mm0.359m 11.205m(0.359m)

10.2将上式代入式(10－11)，并取ηk＝0.6，K2＝0.2，得

62.40(20.6)(m1)(0.359m1)解之得

m＝13.31 n＝0.359m＝4.78 (8) 空气的质量流量和体积流量分别为 G1 Q1G21.650.345kg/s n4.78G110.3450.286m3/s 1.205(9) 混合气体的质量流量为

G3＝G1＋G2＝0.345＋1.65＝1.995 kg/s (10) 空气喷口尺寸 A1Q10.2860.00383m2 u174.754A140.003830.07m

3.14 d1(11) 混合段尺寸

 A3佳A162.400.003830.239m d324A340.2390.552m

3.14混合段内过渡段长度取 l2＝2d3＝2×0.552＝1.104 m 混合段的直管段长度取 l3＝3d3＝3×0.552＝1.656 m 混合段的总长度为 l2＋l3＝1.104m＋1.656m＝2.76 m

(12) 收缩段尺寸

A2＝(1＋K2)A3＝(1＋0.2)×0.239＝0.287 m2 d24(A1A2)4(0.003830.287)0.609m

3.14 d0＝2d3＝2×0.552＝1.104 m l1＝2d3＝2×0.552＝1.104 m (13) 扩张段尺寸

d4＝2d3＝2×0.552＝1.104 m l4＝8d3＝8×0.552＝4.416 m (14) 喷射器的简图如图所示

题10－2附图

(15) 喷射器的最大喷射效率

首先考虑气体混合后温度的变化，假定混合气体的温度t3＝475℃，查表得，不同温度下的空气、烟气和混合气体的等压比热分别为

Cp1＝1.013 kJ/kg·K， Cp2＝1.202 kJ/kg·K， Cp3＝1.18 kJ/kg·K 根据热平衡方程

G1Cp1t1＋G2Cp2t2＝G3Cp3t3 将已知数据代入上式，得混合气体的真实温度为

t30.3451.013201.651.202560475℃

1.9951.18与假定的混合气体温度相符。则混合气体的密度为 0301G102G2G31.2930.3451.321.651.315kg/m3

1.995 3031.3150.48kg/m3

1t31475/273混合气体的体积流量为

Q3G331.9954.156m3/s 0.48A2截面和A4截面上的气体流速分别为

u2 u4因为p1≈p2，所以

Q23.8113.28m/s A20.287Q34.1564.34m/s 1A41.1042412p4p1p4p2(p4p0)(p0p2)(p4p0)(1K2)2u22

15.59.81(10.2)0.43313.28299.77N/m22将有关数据代入式(10－7)，得喷射器的最大喷射效率为

12Q2(p4p02u4)2100%12Q1[1(u12u4)(p4p1)]2

13.81(5.59.810.4334.342)2100%23.75%10.286[1.205(74.7524.342)99.77]210－3 某炉子的烟道系统如图所示，已知烟气温度为820℃，烟气密度为1.30kg/m3(标态)，烟气流量为7200m3/h(标态)，分支烟道截面为0.6×0.6m2，总烟道截面为0.72×1.05m2，试计算烟气从分支烟道入口(零压)至烟囱底部的总压力损失，并确定烟囱的直径和高度。

已已知知：：tg1＝820℃，ρg0＝1.30kg/m3，ρa0＝1.293kg/m3，Q0＝7200m3/h，A1＝0.6×0.6m2，A2＝0.72×1.05m2，H1＝3m，L1＝2m，L2＝30m，取ta＝42℃。

解解析析：：(1) 取烟道内烟气每米温度降为kt＝4.2℃/m，那么，烟囱底部烟气温度为 tg2tg1kt(H1L1L2)8204.2(3230)673℃ 环境空气密度和烟道内各处烟气的实际密度及速度分别为 aa01.2931.12kg/m3

1ta142/273

g1g01.300.325kg/m3

1tg11820/273

g2g01.300.375kg/m3

1tg21673/273 u1Q07200820(1tg1)(1)11.12m/s

23600A1273236000.62Q07200673(1tg2)(1)9.17m/s

3600A236000.721.05273 u2分支烟道和总烟道的当量直径分别为 de14A140.60.64A40.721.050.6m， de220.854m U140.6U22(0.721.05)取烟道及烟囱内的摩擦阻力系数为λ1＝λ2＝λ＝0.05，取分支烟道内90°弯道的局部阻力系数为K1＝1.5，取总烟道入口处异径三通的局部阻力系数为K2＝3.0，列分支烟道入口Ⅰ截面至烟囱底部Ⅱ截面间的伯努利方程，注意到pm1＝0，即

(g1a)gH1HL1L111122 g1u12pm2g2u2(11K1)g1u12(22K2)g2u222de12de22则烟气从分支烟道入口至烟囱底部的总压力损失(包括压头转换)为

HL1L111122pm2(ag1)gH1(g2u2g1u12)(11K1)g1u12(22K2)g2u222de12de221(1.120.325)9.813(0.3759.1720.32511.122)

2321301(0.051.5)0.32511.122(0.053.0)0.3759.1720.620.8542132.57Pa(2) 确定烟囱直径

取烟囱顶部烟气出口流速为u03＝3.0m/s(标态)，则烟囱出口截面积为 A3Q072000.667m2

3600u0336003.0烟囱顶部直径为 d34A340.6670.92m

3.14烟囱底部直径为

d21.5d31.50.921.38m 烟囱的平均直径为

djd2d30.921.381.15m 22(3) 确定烟囱高度

烟囱的近似高度先按下式估算 H33H抽(10.2)132.571.224m 2020取烟囱内烟气每米温度降为1.2℃/m，则烟囱出口烟气温度为 tg3tg2ktH6731.224644℃ 烟囱内烟气平均温度为 tgjtg2tg32673644658.5℃ 2烟囱出口烟气密度为

g01.30 g30.387kg/m3

1tg31644/273烟囱内烟气平均密度为

g01.30 gj0.381kg/m3

1tgj1658.5/273烟囱出口烟气的实际流速为 u3u03(1tg3)3.0(1烟囱内烟气的平均流速为 uj644)10.08m/s 2734Q047200658.5(1t)(1)6.57m/s gj222733600dj36003.141.15列烟囱底部Ⅱ截面至烟囱顶部Ⅲ截面间的伯努利方程，注意到pm3＝0，并将烟囱底部所需要的抽力增加20%，代入有关数据整理得烟囱的高度为

11221.2H抽(g3u3g2u2)22H1(agj)ggjuj2dj2

11.2132.57(0.38710.0820.3759.172)223.65m0.051(1.120.381)9.810.3816.5721.152与前面假设的烟囱高度相近，计算结果有效。因此取烟囱的高度为24米。

10－4 为某炉子设计一座烟囱。已知烟气流量Q0＝1.5m3/s，烟气密度ρ0＝1.3kg/m3，烟气出炉温度t＝900℃，烟道构造尺寸同题题10－3图，在烟道上安装一台长3m的换热器，

阻力为10mmH2O，烟气通过换热器后温度下降280℃，换热器距烟囱的距离为25m。

已已知知：：Q0＝1.5m3/s，ρg0＝1.30kg/m3，ρa0＝1.293kg/m3，tg1＝900℃，A1＝0.6×0.6m2，A2＝0.72×1.05m2，H1＝3m，L1＝L2＝2m，L3＝3m，L4＝25m，Δp＝10mmH2O，Δt＝280℃，取ta＝40℃。

解解析析：：(1) 取换热器前烟道内烟气每米温度降为kt＝4.5℃/m，那么，换热器前烟气温度为

tgr1tg1kt(H1L1L2)9004.5(322)868.5℃ 那么，换热器后烟气温度为 tgr2tgr1t868.5280588.5℃

取换热器后烟道内烟气每米温度降为kt＝3.0℃/m，那么，烟囱底部烟气温度为 tg2tgr2ktL4588.53.025513.5℃

环境空气密度和烟道内各处(包括换热器前后)烟气的实际密度及速度分别为 aa01.2931.13kg/m3

1ta140/273g01.30 g10.303kg/m3

1tg11900/273

gr1g01.300.311kg/m3

1tgr11868.5/273g01.30 gr20.412kg/m3

1tgr21588.5/273

g2g01.300.451kg/m3

1tg21513.5/273 u1Q01.5900(1tg1)(1)8.95m/s 2A127320.62Q01.5868.5(1tgr1)(1)8.30m/s A20.721.05273 ur1 ur2Q01.5588.5(1tgr2)(1)6.26m/s A20.721.05273Q01.5513.5(1tg2)(1)5.72m/s A20.721.05273 u2分支烟道和总烟道的当量直径分别为 de14A140.60.64A40.721.050.6m， de220.854m U140.6U22(0.721.05)取烟道及烟囱内的摩擦阻力系数为λ1＝λ2＝λ＝0.05，取分支烟道内90°弯道的局部阻力系数为K1＝1.5，取总烟道入口处异径三通的局部阻力系数为K2＝3.0，列分支烟道入口Ⅰ截面至烟囱底部Ⅱ截面间的伯努利方程，注意到pm1＝0，即

HL1112(g1a)gH1g1u12pm2g2u2(111K1)g1u1222de12

LL112(22K2)gr1ur21p24g2u2de22de22则烟气从分支烟道入口至烟囱底部的总压力损失(包括压头转换)为

HL11112pm2(ag1)gH1(g2u2g1u12)(11K1)g1u1222de12LL112(22K2)gr1ur21p24g2u2de22de221 (1.130.303)9.813(0.4515.7220.3038.952)232121(0.051.5)0.3038.952(0.053.0)0.3118.3020.620.8542251109.810.050.4515.722185.13Pa0.8542(2) 确定烟囱直径

取烟囱顶部烟气出口流速为u03＝3.0m/s(标态)，则烟囱出口截面积为 A3Q01.50.5m2 u033.0烟囱顶部直径为 d34A340.50.8m 3.14烟囱底部直径为

d21.5d31.50.81.2m 烟囱的平均直径为

djd2d30.81.21.0m 22(3) 确定烟囱高度

烟囱的近似高度可先按下式进行估算 H33H抽(10.2)185.131.233.3m 2020取烟囱内烟气每米温度降为1.2℃/m，则烟囱出口烟气温度为 tg3tg2ktH513.51.233.3473.5℃ 烟囱内烟气平均温度为 tgjtg2tg32513.5473.5493.5℃

2烟囱出口烟气密度为

g01.30 g30.475kg/m3

1tg31473.5/273烟囱内烟气平均密度为

g01.30 gj0.463kg/m3

1tgj1493.5/273烟囱出口烟气的实际流速为 u3u03(1tg3)3.0(1烟囱内烟气的平均流速为 uj473.5)8.20m/s 2734Q041.5493.5(1t)(1)5.37m/s gj22273dj3.141.0列烟囱底部Ⅱ截面至烟囱顶部Ⅲ截面间的伯努利方程，注意到pm3＝0，并将烟囱底部所需要的抽力增加20%，代入有关数据整理得烟囱的高度为

11221.2H抽(g3u3g2u2)22H1(agj)ggjuj2dj2

11.2185.13(0.4758.2020.4515.722)233.55m0.051(1.130.463)9.810.4635.3721.02与前面假设的烟囱高度相接近，计算结果有效。因此取烟囱的高度为34米。

第十一章 泵与风机的叶轮理论

11－1 有一离心式水泵，其叶轮尺寸如下：b1＝35mm，b2＝19mm，D1＝178mm，D2

＝381mm，β1＝18°，β2＝20°。设流体径向流入叶轮，如n＝1450r/min，试按比例画出出口速度三角形，并计算理论流量QT和在该流量时无限多叶片叶轮的理论扬程HT∞。

已已知知：：b1＝35mm，b2＝19mm，D1＝178mm，D2＝381mm，β1＝18°，β2＝20°。α1＝90°，n＝1450r/min。

解解析析：：(1) 因为 u1D1n603.140.178145013.51m/s

60又因为α1＝90°，所以 c1cr1u1tg113.51tg184.39m/s 因此理论流量 QTD1b1cr13.140.1780.0354.390.086m/s

(2) 因为 u2 cr23D2n603.140.381145028.91m/s

60QT0.0863.78m/s

D2b23.140.3810.019 cu2u2cr2ctg228.913.78ctg2018.52m/s 则理论扬程 HTu2cu228.9118.5254.58m g9.81(3) 由u2和cr2及β2绘制出口速度三角形如下图所示。 2tg1cr23.78tg111.8 cu218.5211－2 有一离心式水泵，其叶轮外径D2＝220mm，转速n＝2980r/min，叶片出口安装角β2＝45°，出口处的轴面(径向)速度分量cr2＝3.6m/s。设流体径向流入叶轮，试按比例画出出口速度三角形，并计算无限多叶片叶轮的理论扬程HT∞，又若涡流系数K＝0.8，流动效率ηH＝0.9时，泵的实际扬程H是多少？

已已知知：：D2＝220mm，n＝2980r/min，β2＝45°，cr2＝3.6m/s，α1＝90°，K＝0.8，ηH＝0.9。 解解析析：：(1) 因为 u2D2n603.140.22298034.31m/s

60 cu2u2cr2ctg234.313.6ctg4530.71m/s 由u2和cr2及β2绘制出口速度三角形如下图所示。 2tg1cr23.6tg16.69 cu230.71(2) 理论扬程 HTu2cu234.3130.71107.4m g9.81(3) 实际扬程 HHKHT0.90.8107.477.3m

11－3 有一离心式水泵，叶轮外径D2＝360mm，出口过流截面积A2＝0.023m2，叶片出口安装角β2＝30°，流体径向流入叶轮。求转速n＝1480r/min，流量QT＝83.8L/s时的理论扬程HT。设涡流系数K＝0.82。

已已知知：：D2＝360mm，A2＝0.023m2，β2＝30°，α1＝90°，n＝1480r/min，QT＝83.8L/s，K＝0.82。

解解析析：：因为 u2D2n603.140.36148027.88m/s

60QT83.8103 cr23.64m/s

A20.023 cu2u2cr2ctg227.883.64ctg3021.58m/s 则理论扬程 HTKHTKu2cu227.8821.580.8250.29m g9.8111－4 有一叶轮外径为300mm的离心式风机，当转速为2980r/min时，无限多叶片叶轮的理论全压pT∞是多少？设叶轮入口气体沿径向流入，叶轮出口的相对速度设为半径方向，空气的密度为1.2kg/m3。

已已知知：：D2＝300mm，β2＝90°，α1＝90°，n＝2980r/min，ρ＝1.2kg/m3。 解解析析：：因为 u2D2n603.140.3298046.79m/s

60又因为α1＝90°，β2＝90°，则有 u2cu2，所以理论全压为

pTHTu2cu21.246.792627Pa

11－5 有一离心式风机，转速n＝1500r/min，叶轮外径D2＝600mm，内径D1＝480mm，叶片进、出口处空气的相对速度为w1＝25m/s，w2＝22m/s，它们与相应的圆周速度的夹角分别为β1＝60°，β2＝120°，空气的密度ρ＝1.2kg/m3。试绘出进、出口处的速度三角形，并求无限多叶片叶轮所产生的理论全压pT∞。

已已知知：：D1＝480mm，D2＝600mm，n＝1500r/min，w1＝25m/s，w2＝22m/s，β1＝60°，β2＝120°，ρ＝1.2kg/m3。

解解析析：：(1) 因为 u123.140.48150037.68m/s

6060D2n3.140.61500 u247.1m/s

6060由u1、u2和w1、w2(或者cr1、cr2)及β1、β2绘制进、出口速度三角形如下图所示。

D1n



(2) 由于 cr1w1sin125sin6021.65m/s cr2w2sin222sin12019.05m/s

cu1u1cr1ctg137.6821.65ctg6025.18m/s cu2u2cr2ctg247.119.05ctg12058.1m/s 则理论全压为

pT(u2cu2u1cu1)1.2(47.158.137.6825.18)2145Pa

11－6 有一离心式水泵，在转速n＝1480r/min时，流量Q＝89L/s，扬程H＝23m。水以径向流入叶轮，叶轮内的轴面(径向)速度分量cr1＝3.6m/s。已知内、外径之比D1/D2＝0.5，叶轮出口宽度b2＝0.12D2，若不计叶轮内的损失和叶片厚度的影响，并设叶轮进口叶片的宽度b1＝200mm，求叶轮外径D2、出口宽度b2及叶片进、出口安装角β1和β2。

已已知知：：n＝1480r/min，QT＝89L/s，HT＝23m，α1＝90°，cr1＝3.6m/s，D1/D2＝0.5，b2＝0.12D2，b1＝200mm。

3Q8910T解解析析：：(1) 因为 D10.0394m39.4mm b1cr13.140.23.6那么 D22D120.03940.0788m78.8mm

b20.12D20.120.07880.0095m9.5mm

3.140.039414803.05m/s

6060D2n3.140.07881480 u26.1m/s

6060(2) 因为 u1D1n又因为α1＝90°，所以 c1cr13.6m/s。由于

QT89103 cr237.86m/s

D2b23.140.07880.0095 cu2gHT9.812336.99m/s u26.11因此 1tgcr237.86cr13.6tg149.7； 2tg1tg1129.2 u13.05u2cu26.136.9911－7 有一离心式风机，叶轮外径D2＝600mm，叶轮出口宽度b2＝150mm，叶片出口安装角β2＝30°，转速n＝1450r/min。设空气在叶轮进口处无预旋，空气密度ρ＝1.2kg/m3。(1)求当理论流量QT＝10000m3/h时，叶轮出口的相对速度w2和绝对速度c2；(2)求无限多叶片时的理论全压pT∞；(3)求无限多叶片时的反作用度τ；(4)设叶片数为Z＝12，求涡流系数K和有限叶片时的理论全压pT。

已已知知：：D2＝600mm，b2＝150mm，β2＝30°，n＝1450r/min，α1＝90°，ρ＝1.2kg/m3，QT＝10000m3/h，Z＝12。

解解析析：：(1) 因为 u2 cr2D2n603.140.6145045.53m/s

60QT100009.83m/s

D2b236003.140.60.15 cu2u2cr2ctg245.539.83ctg3028.50m/s 所以叶轮出口的相对速度w2和绝对速度c2分别为

w2cr29.8319.66m/s sin2sin302222 c2cr2cu29.8328.5030.15m/s

(2) 无限多叶片时的理论全压为

pTu2cu21.245.5328.501557Pa (3) 无限多叶片时的反作用度为 1Hdc28.501u210.687 HT2u2245.53(4) 由斯托道拉经验公式，得涡流系数为

u2sin245.533.14sin30 K110.79

cu2Z28.5012则有限叶片时的理论全压为 pTKpT0.7915571230Pa

11－8 已知离心式风机叶轮外径D2＝500mm，出口宽度b2＝100mm，出口安装角β2＝30°，转速n＝1200r/min，风量Q＝8000m3/h，忽略叶片厚度，试绘出出口速度三角形。若叶轮进口气流沿径向流入，空气密度ρ＝1.2kg/m3，求理论风压pT∞。

已已知知：：D2＝500mm，b2＝100mm，β2＝30°，n＝1200r/min，α1＝90°，ρ＝1.2kg/m3，QT＝8000m3/h。

解解析析：：(1) 因为 u2D2n603.140.5120031.4m/s

60 cr2QT800014.15m/s

D2b236003.140.50.1 cu2u2cr2ctg231.414.15ctg306.89m/s 由u2和cr2及β2绘制出口速度三角形如下图所示。 2tg1cr214.15tg164 cu26.89(2) 理论风压为

pTu2cu21.231.46.89260Pa

11－9 离心式水泵的叶轮出口直径D2＝178mm，进口直径D1＝59mm，进出口净面积相等，A1＝A2＝5.14×103m2，转速n＝2900r/min，流量Q＝120m3/h，流体径向流入叶轮，试求进口安装角β1。如出口安装角β2＝25°，问理论扬程是多少？

－

已已知知：：D2＝178mm，D1＝59mm，A1＝A2＝5.14×103m2，β2＝25°，n＝2900r/min，α1

－

＝90°，Q＝120m3/h。

解解析析：：(1) 因为 u1 c1cr1D1n603.140.05929008.95m/s

60Q1206.49m/s 3A136005.1410c16.49tg136 u18.95则 1tg1(2) 因为 u2 cr2D2n603.140.178290027.01m/s

60Q1206.49m/s 3A236005.1410 cu2u2cr2ctg227.016.49ctg2513.09m/s 所以 HTu2cu227.0113.0936m g9.8111－10 离心式水泵叶轮外径D2＝200mm，后弯式出口安装角β2＝30°，出口径向分速度cr2＝5.4m/s，转速n＝1800r/min。设流体径向流入，试计算理论扬程HT∞。如叶轮反向旋转，理论扬程又为多少？将二者进行比较。

已已知知：：D2＝200mm，β2＝30°，cr2＝5.4m/s，α1＝90°，n＝1800r/min。 解解析析：：(1) 因为 u2D2n603.140.2180018.84m/s

60 cu2u2cr2ctg218.845.4ctg309.49m/s 所以 HTu2cu218.849.4918.23m g9.81(2) 如果叶轮反向旋转，则叶轮变为前弯式，所以

cu2u2cr2ctg218.845.4ctg15028.19m/s 那么 HTu2cu218.8428.1954.14m g9.81(3) 比较以上二者的计算结果可知，在其他条件不变的情况下，前弯式叶轮的理论扬程比后弯式叶轮的理论扬程增大近3倍。

11－11 有一台多级离心泵，总扬程为156m，已知叶轮直径D2＝250mm，转速n＝1800r/min，出口切向分速度cu2是圆周速度的50％，涡流系数K＝0.8，水力效率ηH＝92％，为需要多少级？

已已知知：：Hz＝156m，D2＝250mm，cu2＝0.5u2，K＝0.8，ηH＝92％，n＝1800r/min。 解解析析：：(1) 因为 u2所以 HHKHT那么，叶轮级数为 a

D2n603.140.25180023.55m/s； cu20.5u2

60u2cu20.523.552HK0.920.820.8m

g9.81Hz1567.5 级。 H20.8第十二章 泵与风机的设备性能

12－1 有一叶轮外径为460mm的离心式风机，在转速为1450r/min时，其流量为5.1m3/s。试求风机的全压与有效功率。设空气径向流入叶轮，在叶轮出口处的相对速度方向为半径方向，设其p/pT∞＝0.85，ρ＝1.2kg/m3。

已已知知：：D2＝460mm，n＝1450r/min，Q＝5.1m3/s，α1＝90°，β2＝90°，p＝0.85pT∞。 解解析析：：(1) 因为 u2D2n603.140.46145034.91m/s

6022则风机全压 p0.85pT0.85u20.851.234.911243Pa

3(2) 有效功率 NepQ12435.16.3410W6.34kW

12－2 有一离心式通风机，全压p＝250mmH2O，风量Q＝10000m3/h，已知水力效率ηH

＝0.95，容积效率ηv＝0.93，机械损失功率ΔNm＝0.5kW。试求该风机的有效功率、轴功率及机械效率。

已已知知：：p＝250mmH2O，Q＝10000m3/h，ηH＝0.95，ηv＝0.93，ΔNm＝0.5kW。 解解析析：：(1) 有效功率 NepQ2509.81(2) 理论功率 NTpTQT100006812.5W 3600pHvQ2509.81100007710.8W

0.9536000.93轴功率 NNTNm7710.85008210.8W (3) 机械效率 mNT7710.893.9% N8210.812－3 有一离心式水泵，转速为480r/min，总扬程为136m时，流量为5.7m3/s，轴功率为9860kW，其容积效率与机械效率均为92％，求流动(水力)效率。设输入的水温及密度为：t＝20℃，ρ＝1000kg/m3。

已已知知：：n＝480r/min，H＝136m，Q＝5.7m3/s，N＝9860kW，ηv＝ηm＝0.92，ρ＝1000kg/m3。 解解析析：：由 mvH HgHQN，得水力效率为

gHQ10009.811365.70.91

mvN0.922986010312－4 用一台水泵从吸水池液面向50m高的水池水面输送Q＝0.3m3/s的常温清水(t=20℃，ρ=1000kg/m3)，设水管的内径为d＝300mm，管道长度为L＝300m，管道阻力系数为λ＝0.028，求泵所需要的有效功率。

已已知知：：z＝50m，Q＝0.3m3/s，d＝300mm，L＝300m，λ＝0.028，ρ＝1000kg/m3。 解解析析：：(1) 取吸水池液面为基准面，列吸水池至压水池液面间的伯努利方程，其中速度 u4Q40.34.25m/s 22d3.140.3Lu23004.252500.02875.78m 得 Hezd2g0.329.81则 NegHeQ10009.8175.780.32.2310W223kW

12－5 设一台水泵流量Q＝25L/s，出口压力表读数为323730Pa，入口真空表读数为39240Pa，两表位差为0.8m(压力表高，真空表低)，吸水管和压水管直径分别为100mm和75mm，电动机功率表读数为12.5kW，电动机效率为0.95。求泵的轴功率、有效功率及总效率(泵与电动机用联轴器直接连接)。

已已知知：：Q＝25L/s，pm2＝323730Pa，pm1＝－pv1＝－39240Pa，z＝0.8m，d1＝100mm，d2＝75mm，Ng＝12.5kW，ηg＝0.95，ρ＝1000g/m3。

解解析析：：(1) 轴功率 NgNg0.9512.511.875kW

5(2)

4Q425103u10.318m/s22d13.140.1；

4Q425103u20.425m/s 22d23.140.075列泵进出口间的伯努利方程，基准面取在真空表处，得 pm11212 u1pepm2gzu22212pe(pm2pv1)(u2u12)gz21(32373039240)1000(0.42520.3182)10009.810.8

253.70910Pa则 NepeQ3.709102510(3) 总效率 539272.5W9.27kW

Ne9272.578.1% N1187512－6 有一台送风机，其全压为1962Pa时，产生Q＝40m3/min的风量，其全压效率为50％，试求其轴功率。

已已知知：：p＝1962Pa，Q＝40m3/min，η＝50％。 解解析析：：有效功率 NepQ1962401308W 60轴功率为 NNe13082616W 0.512－7 要选择一台多级锅炉给水泵，初选该泵转速n＝1441r/min，叶轮外径D2＝300mm，水力效率ηH＝0.92，流体出口绝对速度的圆周分量为其出口圆周速度的55％，泵的总效率为90％，输送流体密度为ρ＝961kg/m3，要求满足扬程H＝176m，流量Q＝81.6m3/h。试确定该泵所需要的级数和轴功率(设流体径向流入叶轮，并且不考虑轴向涡流的影响)。

已已知知：：n＝1441r/min，D2＝300mm，ηH＝0.92，cu2＝0.55u2，η＝90％，ρ＝961kg/m3，Hz＝176m，Qz＝81.6m3/h，α1＝90°，K＝1。

解解析析：：(1) 因为 u2D2n603.140.3144122.62m/s

60 cu20.55u20.5522.6212.44m/s 所以单级叶轮的扬程为

HHKHT＝HKu2cu222.6212.440.92126.39m g9.81那么，叶轮级数为 aHz1766.67 H26.39(2) NegHzQ10009.8117681.63.912104W39.12kW 3600轴功率 NNe39.1243.5kW 0.912－8 有一台G4－73型离心式风机，在工况1(流量Q1＝70300m3/h，全压p1＝1441.6Pa，轴功率N1＝33.6kW)及工况2(流量Q2＝37800m3/h，全压p2＝2038.4Pa，轴功率N2＝25.4kW)下运行，问该风机在哪种工况下运行较为经济？

已已知知：：Q1＝70300m3/h，p1＝1441.6Pa，N1＝33.6kW；Q2＝37800m3/h，p2＝2038.4Pa，N2＝25.4kW。

解解析析：：(1) 计算两种工况下的效率 1p1Q11441.67030083.78% 3N1360033.610p2Q22038.43780084.26% N2360025.4103 2由上述计算结果可以看出，该风机在第二种工况下运行较为经济。

12－9 水泵装置如图。已知水泵出口处压力表读数M=196.14kPa，水泵入口处真空表读数V=210mmHg，吸水管与压水管直径相同，并测得x=10cm，y=35cm，z=15cm，流量Q=80L/s，轴功率N=20.5kW。试求水泵的扬程H及效率η。

已已知知：：M=196.14kPa，V=210mmHg，d1＝d2，x=10cm，y=35cm，z=15cm，Q=80L/s，N=20.5kW。

解解析析：：(1) 根据题意列水泵进、出口间的伯努利方程，基准面取在入口管轴线上，得

pm2u2u2 Hey2g2gpm1又根据题图及已知条件，得

pm1pm2pvxVHggHOg2x0.2113.60.12.756mH2O

Mz196.140.1520.15mH2O

9.807代入上述伯努利方程，得水泵扬程为

Hepm2pm1y20.152.7560.3523.256m

NeHeQ980723.2568010389% 则水泵总效率为 NN20.510312－10 通风机的铭牌参数为n=1250r/min，Q=8300m3/h，p=79mmH2O，N=2kW，η=89％。现将此风机装在海拔3000m的地区使用，当地夏季气温为40℃，转速不变，试求该风机在最高效率点的运行参数Q、p、N及比转数ns。

已已知知：：n=1250r/min，Q=8300m3/h，p=79mmH2O，N=2kW，η=89％；pa0＝101.325kPa，ρ0＝1.2kg/m3，ta0＝20℃，ta＝40℃。

解解析析：：(1) 查表得海拔3000m处的大气压力为pa＝70.632kPa，那么，该处大气密度为 0paTa070.6322931.20.783kg/m3 pa0Ta101.325313(2) 根据相似率表达式，在叶轮直径和转速不变的情况下，得该风机在最高效率点的运行参数Q、p、N及比转数ns分别为

QQ8300m/h； pp30.7837951.55mmH2O 1.2 NN0.78321.3kW； 1.2nQ1/21250(8300/3600)1/271.6 ns5.543/45.543/4p(799.807)12－11 某系列No.4风机(D2=0.4m)在最佳工况下Q=2882m3/h，全压p=47.2mmH2O，n=1450r/min，现若改用该系列No.6风机，问当n=1250r/min时，最佳工况的性能参数Q、

p是多少？比转数ns是多少？

已已知知：：D2=0.4m，Q=2882m3/h，p=47.2mmH2O，n=1450r/min；D'2=0.6m，n'=1250r/min。 解解析析：：根据相似率表达式，在输送流体不变的情况下，可得该风机在n'=1250r/min时，最佳工况的性能参数Q、p及比转数ns分别为

QQnD212500.63()32882()8385m3/h nD214500.4 pp(n2D2125020.62)()247.2()()78.9mmH2O nD214500.4nQ1/21450(2882/3600)1/272 ns5.543/45.543/4p(47.29.807)nQ1/21250(8385/3600)1/25.5472 或者 ns5.54p3/4(78.99.807)3/412－12 某离心泵原用电机皮带拖动，转速n=1400r/min，最高效率max=0.75时，流量Q=72L/s，扬程H=15.5m。今改为电机直联，转速增大为1450r/min，试求最高效率时的流量及扬程；如电机功率为17kW，问转速提高后功率是否够？

已已知知：：n=1400r/min，max=0.75，Q=72L/s，H=15.5m；n'＝1450r/min，Ng＝17kW。 解解析析：：根据相似率表达式，在叶轮直径和输送流体不变的情况下，可得该风机在n'=1450r/min时，在最高效率下的流量和扬程分别为

n14507274.6m3/h n1400n214502 HH()15.5()16.6m

n1400 QQHQ980715.5721031.46104W14.6kW 又因为 N0.75Ne所以 NN(n314503)14.6()16.2kW n1400由以上计算可以看出，NNg，即转速提高后，电机功率还是足够的。

12－13 有一离心式风机，转速n=1450r/min时，流量Q=1.5m3/s，全压p=1200Pa，最佳效率η=72％，输送空气的密度ρ＝1.2kg/m3。现用该风机输送密度ρg＝0.9kg/m3的烟气，要求全压与输送空气时相同，问此时的转速、流量及功率各为多少？并计算其比转数ns。

已已知知：：n=1450r/min，Q=1.5m3/s，p＝p'=1200Pa，η=72％，ρ＝1.2kg/m3。ρg＝0.9kg/m3。

解解析析：：(1) 因为叶轮直径不变，根据相似率表达式，注意到pp，即

pn()()21 pn得转速 nn1.214501674r/min 0.9n16741.51.73m3/s n1450pQ(2) 流量 QQ(3) 因为 NNe12001.52.5103W2.5kW

0.72所以功率 NN(n30.916743)()2.5()()2.9kW n1.21450nQ1/214501.51/2(4) 比转数 ns5.543/45.5448.3 3/4p(1200)12－14 有一台泵转速n=2900r/min时，扬程H=100m，流量Q=0.17m3/s，轴功率N＝185kW，若用和该泵相似但叶轮外径D2为其2倍的泵，当转速n'=1450r/min时，问扬程、流量和轴功率各为多少？并计算该泵的比转数ns。

已已知知：：n=2900r/min，H=100m，Q=0.17m3/s，D'2＝2D2，n'=1450r/min。

解解析析：：(1) 当输送流体不变时，根据相似率表达式，得扬程、流量和轴功率分别为 HH(n2D2145022)()2100()2100m nD22900nD21450)()30.17()230.68m3/s nD22900 QQ( NN(n3D2145035)()5185()2740kW nD22900nQ1/229000.171/2138 (2) 比转数 ns3.653/43.653/4H(100)12－15 G4－73型离心式风机在转速为n=1450r/min和D2＝1200mm时，全压p=4609Pa，流量Q=71100m3/h，轴功率N＝99.8kW，空气密度ρ＝1.2kg/m3。(1) 若叶轮直径和流体密度不变，转速改为n'＝730r/min时，试计算其全压、流量和轴功率；(2) 若转速和叶轮直径不变，现改为输送200℃的锅炉烟气，烟气密度为ρ'＝0.75kg/m3，试计算其全压、流量和轴功率。

已已知知：：n=1450r/min，D2＝1200mm，p=4609Pa，Q=71100m3/h，N＝99.8kW，ρ＝1.2kg/m3，n'＝730r/min，ρ'＝0.75kg/m3。

解解析析：：(1) 当叶轮直径和流体密度不变时，根据相似率表达式，得全压、流量和轴功率为

n27302)4609()1168Pa n1450n730 QQ()71100()35795m3/h

n1450n37303 NN()99.8()12.7kW

n1450 pp((2) 当转速和叶轮直径不变时，根据相似率表达式，得全压、流量和轴功率为 pp(0.75)4609()2881Pa 1.23 QQ71100m/h

NN(0.75)99.8()62.4kW 1.212－16 12SA-10型离心泵，安装在海拔高程1000m处，输送20℃清水，流量Q=240L/s，

u2吸水管直径d=380mm，压头损失hw7，允许吸上真空高度[HS]=6.0m。试计算泵的最

2g大允许安装高度。若采取安装高度为3m，该泵改为输送50℃热水，问能否正常运行？

已已知知：：h=1000m，t＝20℃，Q=240L/s，d=380mm，[HS]=6.0m，Hg＝3m，t'＝50℃。

34Q424010解解析析：：(1) 吸水管内的流速为 v2.12m/s d23.140.382查表知，海拔高程1000m处的大气压力为pa＝9.2mH2O，20℃清水的气化压力为pv＝0.24mH2O，那么，修正后的允许吸上真空高度为

[Hs][Hs](10.33pa)(0.24pv)

6.0(10.339.2)(0.240.24)4.87m那么，泵的最大允许安装高度为

v2v22.12274.87(17)3.04m [Hg][Hs]2g2g29.81(2) 查表知，50℃热水的气化压力为pv＝1.25mH2O，那么，修正后的允许吸上真空高度为

[Hs][Hs](10.33pa)(0.24pv)

6.0(10.339.2)(0.241.25)3.62m此时泵的最大允许安装高度为

v2v22.12273.62(17)1.79m [Hg][Hs]2g2g29.81若该泵改为输送50℃热水，采取安装高度为3m，将会产生气蚀而不能正常运行。

12－17 有一冷凝水泵，工厂提供的必须气蚀余量[Δh]=2.4m，输送水温80℃，冷凝水箱内液面压强即为汽化压强，吸水管压头损失hw=0.6mH2O。试求水泵的安装高度。

已已知知：：[Δh]=2.4m，t＝80℃，hw=0.6mH2O，p0＝pv。

解解析析：：查表知，80℃热水的气化压力为pv＝4.82mH2O，那么水泵的允许安装高度为 [Hg]p0pv[h]hw02.40.63m

12－18 有一台单级离心泵，在转速n＝1450r/min时，流量为Q＝2.6m3/min，该泵的气蚀比转数为nc＝700，现将这台泵安装在地面上进行抽水，求吸水面在地面以下多少米时发生气蚀。设水面压力为98.1kPa，水温为80℃，密度为ρ＝972kg/m3，吸水管压头损失为hw=1.0mH2O。

已已知知：：n＝1450r/min，Q＝2.6m3/min，nc＝700，p0＝98.1kPa，t＝80℃，ρ＝972kg/m3，hw=1.0mH2O。

1/2nQ解解析析：：(1) 由气蚀比转数的定义式 nc5.62，得泵的必须气蚀余量为 3/4[h]5.62nQ1/24/35.621450(2.6/60)1/24/3 [h]()()3.26m

nc700查表知，80℃热水的气化压力为pv＝4.82mH2O，那么水泵的允许安装高度为 [Hg]p0pv98.1103[h]hw4.823.261.01.21m

9729.81即吸水面在地面以下1.21米时将发生气蚀。

12－19 有一台离心式水泵，流量Q＝4000L/s，转速n＝495r/min，倒灌高度为2m，吸水管路阻力损失为600Pa，吸水面压力为101.3kPa，水温为35℃，密度为ρ＝994kg/m3，试求水泵的气蚀比转数nc。

已已知知：：Q＝4000L/s，n＝495r/min，Hg＝－2m，Δpw＝600Pa，p0＝101.3kPa，t＝35℃，ρ＝994kg/m3。

解解析析：：(1) 查表知，35℃清水的气化压力为pv＝0.6mH2O，那么，泵的允许吸上真空高度为

[h]p0pv101.3103600[Hg]hw0.6211.73m

9949.819949.81(2) 由气蚀比转数的定义式，得

nQ1/24954.01/2 nc5.625.62878 3/43/4[h]11.7312－20 有一台单级双吸泵，吸入口直径为600mm，输送20℃清水时，流量为0.3m3/s，扬程为47m，转速为970r/min，气蚀比转数nc为900。试求：

(1) 在吸水池液面为大气压力时，泵的允许吸上真空高度[Hs]为多少？

(2) 如该泵用于海拔1500m的地方抽送40℃的清水，泵的允许吸上真空高度[Hs]又为多少？

已已知知：：d1=600mm，Qz＝0.3m3/s，Q＝0.15m3/s，H＝47m，n＝970r/min，nc＝900，t1＝20℃，t2＝40℃，h2＝1500m。

1/2nQ解解析析：：(1) 由气蚀比转数的定义式 nc5.62，得泵的必须气蚀余量为 3/4[h]5.62nQ1/24/35.629700.151/24/3 [h]()()3.12m

nc900查表知，20℃清水的气化压力为pv＝0.24mH2O，当地大气压力取p0＝10.33m，由于泵

ppvv12hw0[h]hw 的允许安装高度为 [Hg][Hs]2g同时又知 v14Q40.150.53m/s d123.140.62那么水泵的允许吸上真空高度为

[Hs]p0pvv120.532[h]10.330.243.126.98m

2g29.81(2) 查表知，海拔1500m处的大气压力为8.6m，40℃的清水的气化压力为pv＝0.752mH2O，那么水泵的允许吸上真空高度为

[Hs][Hs](10.33hA)(0.24hv)6.98(10.338.6)(0.240.752)4.74m

12－21 有一台单级双吸泵，吸入口直径为600mm，输送20℃清水，其流量为880L/s，允许吸上真空高度为3.2m，吸水管阻力损失为0.4mH2O，试问该泵安装在离吸水池液面高2.8m处，能否正常工作？

已已知知：：d1=600mm，Q＝880L/s，Q＝440L/s，[Hs]＝3.2m，t＝20℃，hw＝0.4mH2O，h＝2.8m。

34Q444010解解析析：：因为 v11.56m/s d123.140.62v121.562hw3.20.42.68m 那么，泵的允许安装高度为 [Hg][Hs]2g29.81由于[Hs]2.68mh2.8m，因此该泵将会产生气蚀而不能正常工作。

第十三章 泵与风机的运行与调节

13－1 试决定下列情况下泵的扬程及风机所需的风压，设管路能量损失hw=5.0m流体柱。

(a) 水泵从真空度pv=0.3at的密闭水箱中抽水，压水管从高层又下降5m(管中不漏气)； (b) 通风机在海拔2100m处(当地大气压为8mH2O)，由大气送风到100mmH2O的压力箱。

题13－1图

已已知知：：pv=0.3atm，h1＝h2＝5.0m，pa＝8mH2O，pm2＝100mmH2O，hw=5.0m。 解解析析：：(1) 列密闭水箱液面至上部敞口水箱液面间的伯努利方程，基准面取在密闭水箱液面上，得 pvHeh1hw

pv0.3981005.05.013.0m

9810那么泵的扬程为 Heh1hw(2) 列风机吸气管入口至密闭压力箱间的伯努利方程，得风机风压为

pepm2hwH2OhH2Ohw98100.11.29.815.01040Pa 13－2 11BA-6型泵的叶轮直径D=128mm，性能曲线见题13－2图，该泵在管路中工

2作，管路阻抗S=0.408×106s2/m5，几何扬程Hst=12m，试求水泵的供水量、扬程、效率及功率。

题13-2图 题13-4图

13－3 如采用切削叶轮方法调节流量，切削一次叶轮直轻D=115mm，管路系统不变，问此时泵的流量、扬程、效率及轴功率为多少？

13－4 离心式风机的性能曲线如图所示。管路性能曲线ppstSQ2，已知静压

pst=500Pa，气体重度γ=11.77N/m3，管路阻抗S=3.45s2/m5。试求两台相同的风机并联及串

联工作的流量及风压，并与单机工作时的流量及风压进行比较。

13－5 13－2题中水泵及管路系统不变，为了使流量减少20％，试求：

(1) 如采用阀门调节，问泵的流量、扬程、轴功率是多少？阀门消耗的压头是多少？ (2) 如采用变速调节，转速应调至多少？流量、扬程及轴功率是多少？(原转速n=2900r/min)

13－6 12SA-10型的泵(性能曲线见题13－6图)安装在管路系统中，管路性能曲线

HHstSQ2，已知HSt=15m，S=226s2/m5。试求：(1)泵的流量、扬程是多少？(2)冬季流

量减少20％，叶轮应切削多少？

题13-6图

13－7 某工厂通风系统要求风量Q=21800m3/h，风压p=90mmH2O，如采用4-72-11型风机，试分别利用无因次性能曲线及风机性能表，确定风机的叶轮直径及转速。

13－8 试估算8-23-11型No.4风机在转速n=2500r/min时的额定参数。

13－9 如厂房通风要求风量Q=2000m3/h，风压p=300mmH2O，试选择一台8-23-11型风机。

13－10 工厂给水需要流量Q=380L/s，经过管路计算，需扬程H=32m，试选用一台合适的水泵；如考虑流量调节的需要，拟采用两台泵并联工作，试选用两台满足以上要求的水泵。