复系数一元二次方程求解

知识点：

1.复系数方程的一般求解方法； 2.复系数方程与实系数方程解的关联性； 教学过程：

1.系数为复数的方程统称为复系数方程；

2.复系数方程的一般求解方程方法为待定系数法； 3.复系数一元二次方程的根满足韦达定理；

4.复系数一元n次方程有且仅有n个根（k重根按k个根记），此结论由高斯在1797年的博士论文中严格证明。并称为代数基本定理。 ．．．．．．例1.解关于x的方程： （1）x234i0

（2）x2(1i)xi0

（3）(1i)x2(1i)x26i0

（4）x2(3i)x43i0

（5）2x25x2(x2x2)i0

例2.设方程x2pxk0有一个根是12i。 （1）若pR，求实数k的值； （2）若p4，求复数k的值；

例3.解关于x的方程(1x)n(1x)n0,nN。

例4.设x1uvi,u,vR是关于x的方程ax2ibxc0,a,bR的根，求方程的另一个根；

例5.设kR，关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实数解，求k的值，并求方程的根。

例6.已知关于x的方程a(1i)x2(1a2i)a2i0有实数解，求实数a积方程的根。

例7.已知关于x的方程x2(6i)x9ai0,aR有实数根b。 （1）求实数a,b的值；

（2）若复数z满足zabi2z0，求z为何值时，z有最小值，并求出z的值。



例8.关于x的二次方程x2z1xz2m0中，z1,z2,m均是复数，且z124z21620i. 设这个方程的两个根为、，且满足||27.求|m|的最大值和最小值。

例9.已知方程x6x310，求证：在复平面上连结(1,0)与以方程根为顶点的多边形各顶点的所有线段之积等于3．

例

10.已知cosxcosycoszsinxsinysinz0，利用复数求证：

cos2xcos2ycos2z0。

例11.已知复数z满足11z1010z9i10zi110，求证：|z|1。

作业： 1.解下列方程：

（1）zz；（2）z24|z|30；（3）z22zi50；（4）z2(3i)z43i0 2.已知关于x的方程x2(12i)x(3m1)i0有实根,试求纯虚数m的值. 3.已知复数z1满足：(12i)z143i,zn1zn22i(nN*). (1)求复数z1（2）求满足zn13的最大正整数n.

4.已知关于x的方程x2zx43i0有实数解，求复数z的模的最小值；

5.设复数、对应于复平面上的点A、B，且22420，3i1，O为原点，求OAB的最大面积。

6.设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,,z20,求复数

1995z1,z1995,,z1995220所对应的不同的点的个数；

27.关于x的方程x2z1xz2m0，z1,z2,mC的两个根,满足||27，若

z124z21620i0。求|m|的最值。

8.已知方程x2(4i)x4ai0,aR有实数根b，且zabi，求复数z(1ci)(c0)的辐角主值的取值范围。

1ixn9.如果复数|w|1，求证：关于x的方程()w,nN*的所有根都不是相等的实数。

1ix10.设p,qC,q0，关于x的方程x2pxq20的两个根的模相等，求证：

p是实数。 q